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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就. 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2L_2 点的轨道运行. L2L_2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上. 设地球质量为 M1M_1，月球质量为 M2M_2，地月距离为 RR，L2L_2 点到月球的距离为 rr，根据牛顿运动定律和万有引力定律，rr 满足方程：M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3\dfrac{M_1}{(R+r)^2}+\dfrac{M_2}{r^2}=(R+r)\dfrac{M_1}{R^3}.
设 α=rR\alpha=\dfrac rR. 由于 α\alpha 的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3\dfrac{3\alpha^3+3\alpha^4+\alpha^5}{(1+\alpha)^2}\approx 3\alpha^3，则 rr 的近似值为（ ）
A.
RM2M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}
B.
RM22M1R\sqrt{\dfrac{M_2}{2M_1}}
C.
R3M2M13R\sqrt[3]{\dfrac{3M_2}{M_1}}
D.
RM23M13R\sqrt[3]{\dfrac{M_2}{3M_1}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06不等式★★☆☆☆
若 a>ba>b，则（ ）
A.
ln⁡(a−b)>0\ln(a-b)>0
B.
3a<3b3^a<3^b
C.
a3−b3>0a^3-b^3>0
D.
∣a∣>∣b∣|a|>|b|

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
“x>1x > 1”是“log⁡12(x+2)<0\log_{\frac{1}{2}}(x + 2) < 0”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为对数函数 y=log⁡12xy=\log_{\frac12}x 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上为减函数，且其真数须为正，所以
log⁡12(x+2)<0  ⟺  x+2>1  ⟺  x>−1\log_{\frac12}(x+2)<0\iff x+2>1\iff x>-1
由 x>1x>1 一定能推出 x>−1x>-1，但 x=0x=0 满足 x>−1x>-1 而不满足 x>1x>1. 因此“x>1x>1”是题中不等式的充分不必要条件，故答案为 B. \end{solution}
A.
充要条件
B.
充分不必要条件
C.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a=log⁡23+log⁡23a=\log_{2}3+\log_{2}\sqrt{3}，b=log⁡29−log⁡23b=\log_{2}9-\log_{2}\sqrt{3}，c=log⁡32c=\log_{3}2，则 aa，bb，cc 的大小关系是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设 t=log⁡23t=\log_2 3. 因为 3>23>2，所以 t>1t>1. 利用对数的运算性质，a=log⁡2(33)=log⁡2(332)=32ta=\log_2(3\sqrt3)=\log_2(3^{\frac{3}{2}})=\frac32t，b=log⁡293=log⁡2(332)=32tb=\log_2\frac{9}{\sqrt3}=\log_2(3^{\frac{3}{2}})=\frac32t，故 a=ba=b. 又 c=log⁡32=1log⁡23=1tc=\log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}=\frac1t，且 t>1t>1 时 32t>1t\frac32t>\frac1t，所以 a=b>ca=b>c，故选 B. \end{solution}
A.
a=b<ca=b<c
B.
a=b>ca=b>c
C.
a<b<ca<b<c
D.
a>b>ca>b>c

2012 · 重庆 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
下列区间中，函数 f(x)=∣ln⁡(2−x)∣f(x) = |\ln (2 - x)| 在其上为增函数的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 函数的定义域为 x<2x<2. 当 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，ln⁡(2−x)⩾0\ln(2-x)\geqslant0，所以 f(x)=ln⁡(2−x)f(x)=\ln(2-x)，且 f′(x)=−12−x<0f'(x)=-\frac{1}{2-x}<0，函数在此区间上为减函数. 当 x∈[1,2)x\in[1,2) 时，ln⁡(2−x)⩽0\ln(2-x)\leqslant0，所以 f(x)=−ln⁡(2−x)f(x)=-\ln(2-x)，且 f′(x)=12−x>0f'(x)=\frac{1}{2-x}>0，函数在此区间上为增函数. 选项 A 为减区间，B、C 均跨过 x=1x=1，只有 D 是增区间，故选 D. \end{solution}
A.
(−∞,1](-\infty, 1]
B.
[−1,43]\left[-1, \frac{4}{3}\right]
C.
[0,32)\left[0, \frac{3}{2}\right)
D.
[1,2)[1,2)

2011 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=log⁡1312a = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}，b=log⁡1323b = \log_{\frac{1}{3}} \frac{2}{3}，c=log⁡343c = \log_3 \frac{4}{3}，则 aa，bb，cc 的大小关系是（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
c<b<ac < b < a
C.
b<a<cb < a < c
D.
b<c<ab < c < a

2011 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=4x+12xf(x) = \frac{4^x + 1}{2^x} 的图象（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 将函数式化为 f(x)=2x+2−xf(x)=2^x+2^{-x}. 因此 f(−x)=2−x+2x=f(x)f(-x)=2^{-x}+2^x=f(x)，所以函数为偶函数，图象关于 yy 轴对称，选 D. \end{solution}
A.
关于原点对称
B.
关于直线 y=xy = x 对称
C.
关于 xx 轴对称
D.
关于 yy 轴对称

2010 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=16−4xy = \sqrt{16 - 4^x} 的值域是（ ）
A.
[0,+∞)[0, +\infty)
B.
[0,4][0,4]
C.
[0,4)[0,4)
D.
(0,4)(0,4)

2010 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
记 f(x)=log⁡3(x+1)f(x) = \log_{3}(x + 1) 的反函数为 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，则方程 f−1(x)=8f^{-1}(x) = 8 的解 x=x =______.

2009 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=10x2−1y = 10^{x^{2} - 1}（0<x⩽10 < x \leqslant 1）的反函数是（ ）
A.
y=−1+lg⁡xy = -\sqrt{1 + \lg x}（x>110x > \frac{1}{10}）
B.
y=1+lg⁡xy = \sqrt{1 + \lg x}（x>110x > \frac{1}{10}）
C.
y=−1+lg⁡xy = -\sqrt{1 + \lg x}（110<x⩽1\frac{1}{10} < x \leqslant 1）
D.
y=1+lg⁡xy = \sqrt{1 + \lg x}（110<x⩽1\frac{1}{10} < x \leqslant 1）

2008 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 x>0x > 0，则 (2x14+332)(2x14−332)−4x−12(x−x12)=\left(2x^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{3}{2}}\right)\left(2x^{\frac{1}{4}} - 3^{\frac{3}{2}}\right) - 4x^{-\frac{1}{2}}\left(x - x^{\frac{1}{2}}\right) =______.

2008 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，函数 f(x)=log⁡a(x2−2x+3)f(x) = \log_a(x^2 - 2x + 3) 有最小值，则不等式 log⁡a(x−1)>0\log_a(x - 1) > 0 的解集为______.

2006 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
lim⁡n→∞23n−32n+123n+32n=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{2^{3n} - 3^{2n + 1}}{2^{3n} + 3^{2n}} =______

2005 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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05不等式★★☆☆☆
不等式组
{∣x−2∣<2,log⁡2(x2−1)>1\begin{cases} |x-2|<2,\\ \log_{2}(x^{2}-1)>1 \end{cases}
的解集为（ ）
A.
(0,3)(0, \sqrt{3})
B.
(3,2)(\sqrt{3}, 2)
C.
(3,4)(\sqrt{3}, 4)
D.
(2,4)(2,4)

2005 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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