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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
音高 yy（单位：mel）与频率 ff（单位：Hz）满足 y=lg⁡(1+f700)y=\lg \left( 1+\frac{f}{700} \right)，若 lg⁡2≤y<3lg⁡2\lg 2\le y<3\lg 2，则 ff 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1，1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a}-\dfrac{1}{\log_a 4}=-\dfrac{5}{2}，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac1{\log_8a}-\dfrac1{\log_a4}=-\dfrac52，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2−x+1f(x)=2^{-x}+1，且
g(x)={log⁡2(x+1),x≥0,f(−x),x<0,g(x)= \begin{cases} \log_2(x+1), &x\ge 0,\\ f(-x), &x<0, \end{cases}
则方程 g(x)=2g(x)=2 的解为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 a−3b+6=0a-3b+6=0，则 2a+18b2^a+\dfrac1{8^b} 的最小值为______.

2018 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
从 22，33，88，99 任取两个不同的数值，分别记为 aa，bb，则 log⁡ab\log_a b 为整数的概率是______.

2016 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，ab=8ab = 8，则当 aa 的值为______ 时，log⁡2a⋅log⁡2(2b)\log_2 a \cdot \log_2 (2b) 取得最大值.

2015 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 log⁡2(9x−1−5)=log⁡2(3x−1−2)+2\log_2(9^{x - 1} - 5) = \log_2(3^{x - 1} - 2) + 2 的解为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 lg⁡(2x+1)+lg⁡x=1\lg(2x+1)+\lg x=1 的解集为______.
\begin{answer} {2}\{2\} \end{answer}
\begin{solution} 定义域要求 x>0x>0，此时 2x+1>02x+1>0. 由对数运算法则，原方程等价于 lg⁡(x(2x+1))=1\lg\bigl(x(2x+1)\bigr)=1，所以 2x2+x=102x^2+x=10，即 2x2+x−10=02x^2+x-10=0. 因式分解得 (2x+5)(x−2)=0(2x+5)(x-2)=0，故 x=−52x=-\frac52 或 x=2x=2. 由定义域舍去 −52-\frac52，解集为 {2}\{2\}. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
不等式 2x2−x<42^{x^2 - x} < 4 的解集为______.

2015 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
若 a=log⁡43a = \log_{4} 3，则 2a+2−a=‾2^a + 2^{-a} =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
计算 log⁡222=\log_2\dfrac{\sqrt{2}}{2}=______，2log⁡23+log⁡43=2^{\log_2 3+\log_4 3}=______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=ax+bf(x) = a^x + b（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的定义域和值域都是 [−1,0][-1,0]，则 a+b=a + b =______.

2015 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=∣2x−2∣−bf(x) = |2^x - 2| - b 有两个零点，则实数 bb 的取值范围是______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
某食品的保鲜时间 yy（单位：小时）与储藏温度 xx（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）满足函数关系 y=ekx+by = \mathrm{e}^{kx + b}（e=2.718⋯\mathrm{e} = 2.718 \cdots 为自然对数的底数，kk，bb 为常数）. 若该食品在 0∘C0^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 192192 小时，在 22∘C22^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是 4848 小时，则该食品在 33∘C33^{\circ}\mathrm{C} 的保鲜时间是______ 小时.
\begin{solution} 由 y(0)=eb=192y(0)=\mathrm{e}^b=192，y(22)=e22k+b=48y(22)=\mathrm{e}^{22k+b}=48，两式相除得 e22k=14\mathrm{e}^{22k}=\dfrac14. 因此
y(33)=e33k+b=eb(e22k)3322=192(14)32=24y(33)=\mathrm{e}^{33k+b}=\mathrm{e}^b\left(\mathrm{e}^{22k}\right)^{\frac{33}{22}}=192\left(\frac14\right)^{\frac{3}{2}}=24
\end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
设函数
f(x)={ex−1,x<1,x13,x⩾1,f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^{x - 1}, & x < 1,\\ x^{\frac{1}{3}}, & x \geqslant 1, \end{cases}
则使得 f(x)⩽2f(x) \leqslant 2 成立的 xx 的取值范围是______.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=lg⁡x2f(x) = \lg x^{2} 的单调递减区间是______.

2014 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=ln⁡(e3x+1)+axf(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{3x} + 1\right) + ax 是偶函数，则 a=a =______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的各项均为正数，且 a1a5=4a_{1}a_{5} = 4，则 log⁡2a1+log⁡2a2+log⁡2a3+log⁡2a4+log⁡2a5=‾\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{2} + \log_{2} a_{3} + \log_{2} a_{4} + \log_{2} a_{5} =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 33x−1+13=3x−1\frac{3}{3^x-1}+\frac{1}{3}=3^{x-1} 的实数解为______. \begin{answer} log⁡34\log_{3}4 \end{answer}
\begin{solution} 原方程的定义域要求 3x−1≠03^x-1\ne0，即 x≠0x\ne0. 令 t=3xt=3^x，则 t>0t>0 且 t≠1t\ne1. 方程化为
3t−1+13=t3\frac{3}{t-1}+\frac{1}{3}=\frac{t}{3}
两边同乘 3(t−1)3(t-1)，得
9+t−1=t(t−1)9+t-1=t(t-1)
即 t2−2t−8=0t^2-2t-8=0，所以 t=4t=4 或 t=−2t=-2. 因 t>0t>0，只能取 t=4t=4，从而
x=log⁡34x=\log_3 4
该值不为零，满足定义域要求. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 93x−1+1=3x\frac{9}{3^x - 1} + 1 = 3^x 的实数解为______.
\begin{answer} x=log⁡34x = \log_{3}4 \end{answer}
\begin{solution} 令 t=3xt=3^x，则 t>0t>0 且 t≠1t\ne1. 原方程化为
9t−1+1=t\frac{9}{t-1}+1=t
即 9t−1=t−1\frac{9}{t-1}=t-1，(t−1)2=9(t-1)^2=9. 所以 t=4t=4 或 t=−2t=-2. 由于 t>0t>0，只能取 t=4t=4，从而 x=log⁡34x=\log_3 4，且该值满足原方程的定义域要求. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 若 f(ab)=1f(ab) = 1，则 f(a2)+f(b2)=f(a^2) + f(b^2)=______.

2012 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=e∣x−a∣f(x) = \mathrm{e}^{|x - a|} （aa 为常数）. 若 f(x)f(x) 在区间 [1,+∞)[1, +\infty) 上是增函数，则 aa 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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06指数函数与对数函数★★☆☆☆
方程 4x−2x+1−3=04^{x} - 2^{x + 1} - 3 = 0 的解是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
对任意不等于 1 的正数 aa，函数 f(x)=log⁡a(x+3)f(x)=\log_{a}(x+3) 的反函数的图象都经过点 PP，则点 PP 的坐标为______.

2010 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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