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共找到 84 题
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17数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2=3a_2 = 3，a5=81a_5 = 81.
(1) 求 ana_n； (2) 设 bn=log⁡3anb_n = \log_{3} a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等比数列的公比为 qq. 由 a5=a2q3a_5=a_2q^3，得 81=3q381=3q^3，所以 q3=27q^3=27，从而 q=3q=3. 又 a1=a2q=1a_1=\frac{a_2}{q}=1，故 an=a1qn−1=3n−1a_n=a_1q^{n-1}=3^{n-1}. \item 由 an=3n−1>0a_n=3^{n-1}>0，得 bn=log⁡3an=n−1b_n=\log_3a_n=n-1. 因此 Sn=∑k=1nbk=∑k=1n(k−1)=n(n−1)2S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=13a_{1} = \frac{1}{3}，公比 q=13q = \frac{1}{3}.
(1) 若 SnS_{n} 为 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，证明： Sn=1−an2S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2}； (2) 设 bn=log⁡3a1+log⁡3a2+⋯+log⁡3anb_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \cdots + \log_{3} a_{n}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式.

2011 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17不等式★★☆☆☆
设函数 f(x)=2∣x+1∣−∣x−1∣f(x) = 2^{|x + 1| - |x - 1|}，求使 f(x)⩾22f(x) \geqslant 2\sqrt{2} 的 xx 的取值范围.

2005 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：4x+∣1−2x∣=114^{x} + |1 - 2^{x}| = 11.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：4x−2x+2−12=04^{x} - 2^{x + 2} - 12 = 0.

2004 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
解不等式：log⁡2(x2−x−2)>log⁡2(2x−2)\log_{2}(x^2-x-2)>\log_{2}(2x-2).
\begin{solution} 因为对数的真数必须为正数，所以必须同时满足 x2−x−2>0x^2-x-2>0 和 2x−2>02x-2>0. 分别因式分解，得 (x−2)(x+1)>0(x-2)(x+1)>0，从而 x<−1x<-1 或 x>2x>2；又由 2x−2>02x-2>0 得 x>1x>1. 因此定义域为 x>2x>2.
因为底数 2>12>1，对数函数在正数范围内递增，所以原不等式等价于
x2−x−2>2x−2⟺x2−3x>0⟺x(x−3)>0x^2-x-2>2x-2 \Longleftrightarrow x^2-3x>0 \Longleftrightarrow x(x-3)>0
其解为 x<0x<0 或 x>3x>3. 与定义域 x>2x>2 取交集，得 x>3x>3. 所以原不等式的解集为 (3,+∞)(3,+\infty). \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=∣lg⁡x∣f(x)=|\lg x|，若 0<a<b0<a<b，且 f(a)>f(b)f(a)>f(b)，证明：ab<1ab<1.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★☆☆☆
已知二次函数 f(x)=(lg⁡a)x2+2x+4lg⁡af(x)=(\lg a)x^2+2x+4\lg a 的最大值为 33，求 aa 的值.

2000 · 京皖 · 春季 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：3lg⁡x−2−3lg⁡x+4=0\sqrt{3\lg x-2}-3\lg x+4=0.

1999 · 全国 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：3lg⁡x−2−3lg⁡x+4=0\sqrt{3\lg x-2}-3\lg x+4=0.

1999 · 广东 · 第 17 题 · 解答题

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25指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：lg⁡(x2+4x−26)−lg⁡(x−3)=1\lg (x^2 + 4x - 26) - \lg (x - 3) = 1.

1993 · 全国 · 文 · 第 25 题 · 解答题

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24指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 f(x)=log⁡a1+x1−xf(x)=\log_a\frac{1+x}{1-x}（a>0a>0，a≠1a\neq 1）.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域； (2) 判断 f(x)f(x) 的奇偶性并予以证明； (3) 求使 f(x)>0f(x)>0 的 xx 取值范围.

1993 · 京湘鄂云琼贵 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 log⁡5(x2+2x−2)=0\log_5(x^2+2x-2)=0，2log⁡5(x+2)−log⁡5y+12=02\log_5(x+2)-\log_5 y+\frac{1}{2}=0，求 yy 的值.

1990 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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31函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)=log⁡3(4+3x−x2)−log⁡3(2x−1)f(x)=\log_3\left( 4+3x-x^2 \right)-\log_3\left( 2x-1 \right).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的定义域； (2) 解不等式 f(x)>log⁡32f(x)>\log_3 2.

1990 · 广东 · 文 · 第 31 题 · 解答题

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31指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 f(x)=ax−1f(x) = a^{x - 1}，其中常数 a>0a > 0.
(1) 如果 {xn}\{x_n\} 是等差数列，求证：{f(xn)}\{f(x_n)\} 是等比数列； (2) 如果 a=4a = 4，解方程 4f(x)+f(−x)−1=04f(x) + f(-x) - 1 = 0.

1989 · 广东 · 文 · 第 31 题 · 解答题

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
求方程 25x2+x−0.5=54\sqrt{25^{x^2 + x - 0.5}} = \sqrt[4]{5} 的解.

1986 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 解答题

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11指数函数与对数函数★★☆☆☆
求方程 25x2+x−0.5=54\sqrt{25^{x^2 + x - 0.5}} = \sqrt[4]{5} 的解.

1986 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 解答题

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31指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 f(x)=12log⁡13(x+1)f(x)=\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}(x+1)，g(x)=log⁡13(1−x)g(x)=\log_{\frac{1}{3}}(1-x)，试解不等式 f(x)⩾g(x)f(x)\geqslant g(x).

1986 · 上海 · 文 · 第 31 题 · 解答题

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：lg⁡(3−x)−lg⁡(3+x)=lg⁡(1−x)−lg⁡(2x+1)\lg (3-x)-\lg (3+x)=\lg (1-x)-\lg (2x+1).

1985 · 全国 · 文 · 第 13 题 · 解答题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
函数 log⁡0.5(x2+4x+4)\log_{0.5}(x^2 + 4x + 4) 在什么区间上是增函数？

1984 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 解答题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
化简： [−a7b23(a+b)2]2×[a2−b2a2b]4÷[a2(b−a)2]3\left[-\frac{a^7b^2}{\sqrt{3}(a+b)^2}\right]^2\times \left[\frac{a^2-b^2}{a^2\sqrt{b}}\right]^4\div \left[\frac{a^2(b-a)}{2}\right]^3.

1981 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 解答题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
证明对数换底公式：log⁡bN=log⁡aNlog⁡ab\log_b N = \frac{\log_a N}{\log_a b}（aa，bb，NN 都是正数，a≠1a \neq 1，b≠1b \neq 1）.

1980 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 解答题

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01函数与初等函数★★☆☆☆
(1) 分解因式：x2−4xy+4y2−4z2x^{2}-4xy+4y^{2}-4z^{2}. (2) 已知正方形的边长为 aa，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积. (3) 求函数 y=lg⁡(2+x)y=\sqrt{\lg(2+x)} 的定义域. (4) 不查表求 cos⁡80∘cos⁡35∘+cos⁡10∘cos⁡55∘\cos80^{\circ}\cos35^{\circ}+\cos10^{\circ}\cos55^{\circ} 的值. (5) 化简：(14)−12⋅(4ab−1)3(0.1)−2(a3b−4)12\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{4ab^{-1}}\right)^{3}}{(0.1)^{-2}\left(a^{3}b^{-4}\right)^{\frac{1}{2}}}.

1978 · 全国 · 第 1 题 · 解答题

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03指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 lg⁡2=0.3010\lg 2=0.3010，lg⁡3=0.4771\lg 3=0.4771，求 lg⁡45\lg\sqrt{45}.

1977 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 解答题

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01指数函数与对数函数★★☆☆☆
(1) 在什么条件下，y2x\frac{y}{2x}
① 是正数； ② 是负数； ③ 等于零； ④ 没有意义？ (2) 比较下列各组数的大小，并说明理由.
① cos⁡31∘\cos31^\circ 与 cos⁡30∘\cos30^\circ. ② log⁡21\log_2 1 与 log⁡214\log_2 \frac{1}{4}. (3) 求值：
① tan⁡(5arcsin⁡32)\tan\left(5\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right). ② (−2)0×(0.01)12\left(-2\right)^0\times\left(0.01\right)^{\frac{1}{2}}. (4) 计算：lg⁡12.5−lg⁡58+lg⁡sin⁡30∘\lg 12.5-\lg\frac{5}{8}+\lg\sin 30^\circ. (5) 解方程：4xx2−4−2x−2=1−1x+2\frac{4x}{x^2-4}-\frac{2}{x-2}=1-\frac{1}{x+2}.

1977 · 天津 · 第 1 题 · 解答题

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