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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为奇函数，且
f(x)={a2x−1,x<0,x+a,x>0,f(x)=\begin{cases} a^2x-1, & x<0,\\ x+a, & x>0, \end{cases}
则实数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知 α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}\alpha\in\{-2,-1,-\frac12,\frac12,1,2,3\}. 若幂函数 f(x)=xαf(x)=x^\alpha 为奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上递减，则 α=\alpha=______.

2018 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=x23−x−12f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}，则满足 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是______.

2014 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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11不等式★★☆☆☆
若 f(x)=x23−x−12f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{2}}，则满足 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)\left(0,1\right) \end{answer}
\begin{solution} 由于含有 x−12=1xx^{-\frac{1}{2}}=\dfrac1{\sqrt x}，函数定义域为 x>0x>0. 在此范围内，f(x)<0f(x)<0 等价于 x23<x−12x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}. 两边同乘正数 x12x^{\frac{1}{2}}，得 x76<1x^{\frac{7}{6}}<1，所以 0<x<10<x<1. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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20函数与初等函数★★☆☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \dfrac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=4a=4 时，函数定义域为 x≠2x\ne2. 设 y=2x+42x−4y=\dfrac{2^x+4}{2^x-4}，则 y(2x−4)=2x+4y(2^x-4)=2^x+4，所以 (y−1)2x=4(y+1)(y-1)2^x=4(y+1)，即 2x=4(y+1)y−12^x=\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 因而 x=log⁡24(y+1)y−1x=\log_2\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 当 0<2x<40<2^x<4 时，y<−1y<-1；当 2x>42^x>4 时，y>1y>1，所以值域为 (−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). 交换自变量与因变量，得 f−1(x)=log⁡24x+4x−1f^{-1}(x)=\log_2\dfrac{4x+4}{x-1}，定义域为 x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \item 当 a=0a=0 时，f(x)=1f(x)=1，定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以是偶函数. 当 a=1a=1 时，定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(−x)=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−2x+12x−1=−f(x)f(-x)=\dfrac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\dfrac{1+2^x}{1-2^x}=-\dfrac{2^x+1}{2^x-1}=-f(x)，所以是奇函数. 当 a>0a>0 且 a≠1a\ne1 时，定义域为 R\{log⁡2a}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{\log_2a\}，被排除的点不为 00，定义域不关于原点对称，因而既不是奇函数也不是偶函数. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 （x⩾1x \geqslant 1）的反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，则 f−1(2)f^{-1}(2) 的值是（\quad）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由 y=x2−1y=x^2-1 且 x⩾1x\geqslant1，反解得 x=y+1x=\sqrt{y+1}. 因而 f−1(x)=x+1f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}，所以
f−1(2)=3f^{-1}(2)=\sqrt3
因此选 A. \end{solution}
A.
3\sqrt{3}
B.
−3-\sqrt{3}
C.
1+21 + \sqrt{2}
D.
1−21 - \sqrt{2}

2013 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
函数
f(x)=∣2cos⁡xsin⁡x−1∣f(x) = \left| \begin{matrix} 2 & \cos x \\ \sin x & -1 \end{matrix} \right|
的值域是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=e∣x−a∣f(x) = \mathrm{e}^{|x - a|} （aa 为常数）. 若 f(x)f(x) 在区间 [1,+∞)[1, +\infty) 上是增函数，则 aa 的取值范围是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知 y=f(x)+x2y = f(x) + x^2 是奇函数，且 f(1)=1f(1) = 1. 若 g(x)=f(x)+2g(x) = f(x) + 2，则 g(−1)=g(-1) =______.

2012 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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15复数★★☆☆☆
若 1+2i1 + \sqrt{2}\mathrm{i} 是关于 xx 的实系数方程 x2+bx+c=0x^{2} + bx + c = 0 的一个复数根，则（ ）
A.
b=2,c=3b = 2, c = 3
B.
b=2b = 2，c=−1c = -1
C.
b=−2b = -2，c=−1c = -1
D.
b=−2b = -2，c=3c = 3

2012 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减的函数是（ ）
A.
y=ln⁡1∣x∣y = \ln \frac{1}{|x|}
B.
y=x3y = x^{3}
C.
y=2∣x∣y = 2^{|x|}
D.
y=cos⁡xy = \cos x

2011 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数中，既是偶函数，又在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递减的是（ ）
A.
y=x−2y = x^{-2}
B.
y=x−1y = x^{-1}
C.
y=x2y = x^{2}
D.
y=x13y = x^{\frac{1}{3}}

2011 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园，20:00 停止入园. 在下边的框图中，SS 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，aa 表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入______.

2010 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
对任意不等于 1 的正数 aa，函数 f(x)=log⁡a(x+3)f(x)=\log_{a}(x+3) 的反函数的图象都经过点 PP，则点 PP 的坐标为______.

2010 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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10数列★★☆☆☆
在 nn 行 nn 列矩阵
(123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋮⋱⋮⋱⋮⋯⋮n12⋯n−3n−2n−1)\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots&n-2&n-1&n\\2&3&4&\cdots&n-1&n&1\\3&4&5&\cdots&n&1&2\\\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\cdots&\vdots\\n&1&2&\cdots&n-3&n-2&n-1\end{pmatrix}
中，记位于第 ii 行第 jj 列的数为 aija_{ij}（ii，j=1j=1，22，⋯\cdots，nn）. 当 n=9n = 9 时，a11+a22+a33+⋯+a99=‾a_{11} + a_{22} + a_{33} + \cdots + a_{99} =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
某算法的程序框图如图所示，则输出量 yy 与输入量 xx 满足的关系式是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数. 若当 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty) 时，f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x，则满足 f(x)>0f(x) > 0 的 xx 的取值范围是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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07复数★★☆☆☆
若 zz 是实系数方程 x2+2x+p=0x^{2} + 2x + p = 0 的一个虚根，且 ∣z∣=2|z| = 2，则 p=p =______.

2008 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=xx−1f(x)=\frac{x}{x-1} 的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2007 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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12复数★★☆☆☆
已知 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，且 2+ai2 + a\mathrm{i}，b+ib + \mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位）是实系数一元二次方程 x2+px+q=0x^{2} + px + q = 0 的两个根，那么 pp，qq 的值分别是（ ）
A.
p=−4,q=5p = -4, q = 5
B.
p=−4p = -4，q=3q = 3
C.
p=4p = 4，q=5q = 5
D.
p=4p = 4，q=3q = 3

2007 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=12x+1f(x) = \frac{1}{2^x + 1}，则该函数在 (−∞,+∞)(- \infty, +\infty) 上是（ ）
A.
单调递减无最小值
B.
单调递减有最小值
C.
单调递增无最大值
D.
单调递增有最大值

2005 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=12x+1f(x) = \frac{1}{2^x + 1}，则该函数在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 上是（ ）
A.
单调递减无最小值
B.
单调递减有最小值
C.
单调递增无最大值
D.
单调递增有最大值

2005 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
设奇函数 f(x)f(x) 的定义域为 [−5,5][-5, 5]. 若当 x∈[0,5]x \in [0, 5] 时，f(x)f(x) 的图象如右图，则不等式 f(x)<0f(x) < 0 的解是______.

2004 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
设奇函数 f(x)f(x) 的定义域为 [−5,5][-5, 5]. 若当 x∈[0,5]x \in [0, 5] 时，f(x)f(x) 的图象如右图，则不等式 f(x)<0f(x) < 0 的解是______.

2004 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与函数 y=lg⁡(x+1)y = \lg\left(x + 1\right) 的图象关于直线 x−y=0x - y = 0 对称，则 f(x)=f(x) =（\quad）
A.
10x−110^{x} - 1
B.
1−10x1 - 10^{x}
C.
1−10−x1 - 10^{-x}
D.
10−x−110^{-x} - 1

2004 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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