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055分函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上且周期为2的偶函数，当 2≤x≤32 \le x \le 3 时，f(x)=5−2xf(x)=5-2x，则 f(−34)=f\left(-\frac{3}{4}\right)=（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
−14-\frac{1}{4}
C.
14\frac{1}{4}
D.
12\frac{1}{2}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 5 题 · 选择题

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045分函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=2x(x−a)f(x)=2^{x(x-a)} 在区间 (0,1)(0,1) 单调递减，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−2](-\infty,-2]
B.
[−2,0)[-2,0)
C.
(0,2](0,2]
D.
[2,+∞)[2,+\infty)

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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135分函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=x3(a⋅2x−2−x)f(x)=x^3\left( a\cdot 2^x-2^{-x} \right) 是偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
如图是求 12+12+12\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}} 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
A=12+AA=\dfrac{1}{2+A}
B.
A=2+1AA=2+\dfrac{1}{A}
C.
A=11+2AA=\dfrac{1}{1+2A}
D.
A=1+12AA=1+\dfrac{1}{2A}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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05导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3+(a−1)x2+axf(x)=x^3+(a-1)x^2+ax. 若 f(x)f(x) 为奇函数，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,0)(0,0) 处的切线方程为（ ）
A.
y=−2xy=-2x
B.
y=−xy=-x
C.
y=2xy=2x
D.
y=xy=x

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3+(a−1)x2+axf(x)=x^3+(a-1)x^2+ax. 若 f(x)f(x) 为奇函数，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,0)(0,0) 处的切线方程为（ ）
A.
y=−2xy=-2x
B.
y=−xy=-x
C.
y=2xy=2x
D.
y=xy=x

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，则 f(x)f(x) 是（ ）
A.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
B.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数
C.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
D.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数

2015 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，则 f(x)f(x) 是（ ）
A.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
B.
奇函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数
C.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是增函数
D.
偶函数，且在 (0,1)(0,1) 是减函数

2015 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=∣2x−2∣−bf(x) = |2^x - 2| - b 有两个零点，则实数 bb 的取值范围是______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x)，g(x)g(x) 分别是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数和奇函数，且 f(x)−g(x)=x3+x2+1f(x) - g(x) = x^{3} + x^{2} + 1，则 f(1)+g(1)=f(1) + g(1) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 把题设等式中的 xx 换成 −x-x，并利用 ff 为偶函数、gg 为奇函数，得
f(x)+g(x)=(−x)3+(−x)2+1=−x3+x2+1f(x)+g(x)=(-x)^3+(-x)^2+1=-x^3+x^2+1
令 x=1x=1，得到 f(1)+g(1)=−1+1+1=1f(1)+g(1)=-1+1+1=1，故选 C. \end{solution}
A.
−3-3
B.
−1-1
C.
11
D.
33

2014 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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14不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩽4,y⩾k,\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \leqslant 4,\\ y \geqslant k, \end{cases}
且 z=2x+yz = 2x + y 的最小值为−6-6，则 k=k =______. \begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 由 y⩽xy\leqslant x 及目标函数中 xx 的系数为正，对固定的 yy，使 z=2x+yz=2x+y 取得最小值时应取 x=yx=y. 于是 z⩾3yz\geqslant3y. 约束还给出 y⩾ky\geqslant k，所以在可行域内
z⩾3y⩾3kz\geqslant3y\geqslant3k
取 x=y=kx=y=k 时，第三个约束和第一个约束均满足；只要可行域存在，还需 2k⩽42k\leqslant4，本题所得 kk 满足这一条件. 因而最小值为 3k3k，由 3k=−63k=-6 得 k=−2k=-2. 此时 (x,y)=(−2,−2)(x,y)=(-2,-2) 可行，故结论成立. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=ln⁡(e3x+1)+axf(x) = \ln\left(\mathrm{e}^{3x} + 1\right) + ax 是偶函数，则 a=a =______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是奇函数，g(x)g(x) 是偶函数，且 f(−1)+g(1)=2f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(−1)=4f(1)+g(-1)=4，则 g(1)g(1) 等于（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2013 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行如图所示的程序框图，输入 x=−1x=-1，n=3n=3，则输出的数 S=S=______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
如果执行如图所示的程序框图，输入 x=4.5x = 4.5，则输出的数 i=‾i =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 湖南 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=ex−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - 1，g(x)=−x2+4x−3g(x) = -x^{2} + 4x - 3，若有 f(a)=g(b)f(a) = g(b)，则 bb 的取值范围为（ ）
A.
[2−2,2+2][2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]
B.
(2−2,2+2)(2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})
C.
[1,3][1,3]
D.
(1,3)(1,3)

2011 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
lim⁡x→1x−1x2+3x−4=\lim\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{2} + 3x - 4} =______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 存在反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，且函数 y=x−f(x)y = x - f(x) 的图象过点 (1,2)(1,2). 则函数 y=f−1(x)−xy = f^{-1}(x) - x 的图象一定过点______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
下列四个命题中，不正确的是（ ）
A.
若函数 f(x)f(x) 在 x=x0x = x_0 处连续，则 lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)
B.
函数 f(x)=x+2x2−4f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 4} 的不连续点是 x=2x = 2 和 x=−2x = -2
C.
若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 满足 lim⁡x→∞[f(x)−g(x)]=0\lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - g(x)] = 0，则 lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞g(x)\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} g(x)
D.
lim⁡x→1x−1x−1=12\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{1}{2}

2007 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
“a=1a=1”是“函数 f(x)=∣x−a∣f(x) = |x - a| 在区间 [1,+∞)[1, +\infty) 上为增函数”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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14三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=asin⁡(x+π4)+bsin⁡(x−π4)f(x) = a \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + b \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)（ab≠0ab \neq 0）是偶函数，则有序实数对 (a,b)(a, b) 可以是______. （写出你认为正确的一组数字即可）

2006 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
“a=1a=1”是“函数 f(x)=∣x−a∣f(x)=|x-a| 在区间 [1,+∞)[1,+\infty) 上为增函数”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
已知
{x⩾1,x−y+1⩽0,2x−y−2⩽0\begin{cases} x\geqslant1,\\ x-y+1\leqslant0,\\ 2x-y-2\leqslant0 \end{cases}
，则 x2+y2x^2+y^2 的最小值是______.

2006 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=asin⁡(x+π4)+3sin⁡(x−π4)f(x)=a\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+3\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) 是偶函数，则 a=a=______.

2006 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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06导数及其应用★★☆☆☆
设 f0(x)=sin⁡xf_0(x) = \sin x，f1(x)=f0′(x)f_1(x) = f_0'(x)，f2(x)=f1′(x)f_2(x) = f_1'(x)，⋯\cdots，fn+1(x)=fn′(x)f_{n+1}(x) = f_n'(x)，n∈Nn \in \mathbf{N}，则 f2005(x)=f_{2005}(x) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 连续求导得到 f0(x)=sin⁡xf_0(x)=\sin x、f1(x)=cos⁡xf_1(x)=\cos x、f2(x)=−sin⁡xf_2(x)=-\sin x、f3(x)=−cos⁡xf_3(x)=-\cos x、f4(x)=sin⁡xf_4(x)=\sin x，以后每四次循环一次. 由于 2005=4×501+12005=4\times501+1，所以 f2005(x)=f1(x)=cos⁡xf_{2005}(x)=f_1(x)=\cos x，故选 C. \end{solution}
A.
sin⁡x\sin x
B.
−sin⁡x-\sin x
C.
cos⁡x\cos x
D.
−cos⁡x-\cos x

2005 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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