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045分函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=(x+a)ln⁡2x−12x+1f(x)=(x+a)\ln\frac{2x-1}{2x+1} 为偶函数，则 a=a=（ ）
A.
−1-1
B.
0
C.
12\dfrac12
D.
1

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3−1x3f(x)=x^3-\dfrac{1}{x^3}，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增
B.
是奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减
C.
是偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增
D.
是偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是奇函数，且当 x<0x<0 时，f(x)=−eaxf(x)=-\mathrm{e}^{ax}. 若 f(ln⁡2)=8f(\ln2)=8，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 为奇函数，且当 x≥0x\ge0 时，f(x)=ex−1f(x)=\mathrm{e}^x-1，则当 x<0x<0 时，f(x)=f(x)=（ ）
A.
e−x−1\mathrm{e}^{-x}-1
B.
e−x+1\mathrm{e}^{-x}+1
C.
−e−x−1-\mathrm{e}^{-x}-1
D.
−e−x+1-\mathrm{e}^{-x}+1

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=ex−e−xx2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{x^2} 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=ex−e−xx2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{x^2} 的图象大致为（ ）.
A.
B.
C.
D.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=log⁡2(x2+2x−3)f(x) = \log_2 (x^2 + 2x - 3) 的定义域是（ ）
A.
[−3,1][-3, 1]
B.
(−3,1)(-3, 1)
C.
(−∞,−3]∪[1,+∞)(-\infty, -3] \cup [1, +\infty)
D.
(−∞,−3)∪(1,+∞)(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)

2015 · 重庆 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
(3−a)(a+6)\sqrt{(3 - a)(a + 6)} （−6⩽a⩽3-6\leqslant a\leqslant 3）的最大值为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 在给定区间内，
(3−a)(a+6)=18−3a−a2=814−(a+32)2(3-a)(a+6)=18-3a-a^2=\frac{81}{4}-\left(a+\frac{3}{2}\right)^2
由于平方项满足 (a+32)2⩾0\left(a+\frac{3}{2}\right)^2\geqslant0，所以
(3−a)(a+6)⩽814(3-a)(a+6)\leqslant\frac{81}{4}
等号在 a=−32a=-\frac{3}{2} 时取得. 开平方得原式的最大值为
814=92\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2}
故选 B. \end{solution}
A.
99
B.
92\frac{9}{2}
C.
33
D.
322\frac{3\sqrt{2}}{2}

2013 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
若 a<b<ca < b < c，则函数 f(x)=(x−a)(x−b)+(x−b)(x−c)+(x−c)(x−a)f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) 的两个零点分别位于区间（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 将函数在三个点处的值分别计算为
f(a)=(a−b)(a−c)>0f(a)=(a-b)(a-c)>0
f(b)=(b−c)(b−a)<0f(b)=(b-c)(b-a)<0
f(c)=(c−a)(c−b)>0f(c)=(c-a)(c-b)>0
由于 f(x)f(x) 是连续函数，由零点存在定理，f(x)f(x) 在 (a,b)(a,b) 内至少有一个零点，在 (b,c)(b,c) 内至少有一个零点.
展开得
f(x)=3x2−2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)f(x)=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)
这是二次函数，至多有两个零点. 因此它的两个零点分别位于 (a,b)(a,b) 和 (b,c)(b,c) 内，故选 A. \end{solution}
A.
(a,b)(a, b) 和 (b,c)(b, c) 内
B.
(−∞,a)(-\infty, a) 和 (a,b)(a, b) 内
C.
(b,c)(b, c) 和 (c,+∞)(c, +\infty) 内
D.
(−∞,a)(-\infty, a) 和 (c,+∞)(c, +\infty) 内

2013 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
设 tan⁡α\tan \alpha，tan⁡β\tan \beta 是方程 x2−3x+2=0x^{2} - 3x + 2 = 0 的两根，则 tan⁡(α+β)\tan (\alpha + \beta) 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由韦达定理， tan⁡α+tan⁡β=3\tan\alpha+\tan\beta=3，tan⁡αtan⁡β=2\tan\alpha\tan\beta=2 由于 1−tan⁡αtan⁡β=−1≠01-\tan\alpha\tan\beta=-1\ne0，正切和公式可用，故
tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=31−2=−3\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{3}{1-2}=-3
故选 A. \end{solution}
A.
−3-3
B.
−1-1
C.
11
D.
33

2012 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
下列区间中，函数 f(x)=∣ln⁡(2−x)∣f(x) = |\ln (2 - x)| 在其上为增函数的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 函数的定义域为 x<2x<2. 当 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，ln⁡(2−x)⩾0\ln(2-x)\geqslant0，所以 f(x)=ln⁡(2−x)f(x)=\ln(2-x)，且 f′(x)=−12−x<0f'(x)=-\frac{1}{2-x}<0，函数在此区间上为减函数. 当 x∈[1,2)x\in[1,2) 时，ln⁡(2−x)⩽0\ln(2-x)\leqslant0，所以 f(x)=−ln⁡(2−x)f(x)=-\ln(2-x)，且 f′(x)=12−x>0f'(x)=\frac{1}{2-x}>0，函数在此区间上为增函数. 选项 A 为减区间，B、C 均跨过 x=1x=1，只有 D 是增区间，故选 D. \end{solution}
A.
(−∞,1](-\infty, 1]
B.
[−1,43]\left[-1, \frac{4}{3}\right]
C.
[0,32)\left[0, \frac{3}{2}\right)
D.
[1,2)[1,2)

2011 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=4x+12xf(x) = \frac{4^x + 1}{2^x} 的图象（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 将函数式化为 f(x)=2x+2−xf(x)=2^x+2^{-x}. 因此 f(−x)=2−x+2x=f(x)f(-x)=2^{-x}+2^x=f(x)，所以函数为偶函数，图象关于 yy 轴对称，选 D. \end{solution}
A.
关于原点对称
B.
关于直线 y=xy = x 对称
C.
关于 xx 轴对称
D.
关于 yy 轴对称

2010 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=16−4xy = \sqrt{16 - 4^x} 的值域是（ ）
A.
[0,+∞)[0, +\infty)
B.
[0,4][0,4]
C.
[0,4)[0,4)
D.
(0,4)(0,4)

2010 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知 lim⁡x→∞(2x2x+1−ax−b)=2\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2}{x + 1} -ax - b\right) = 2，其中 aa，b∈Rb\in \mathbf{R}，则 a−ba - b 的值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 作除法可得
2x2x+1=2x−2+2x+1\frac{2x^{2}}{x+1}=2x-2+\frac{2}{x+1}
因此
2x2x+1−ax−b=(2−a)x−(2+b)+2x+1\frac{2x^{2}}{x+1}-ax-b =(2-a)x-(2+b)+\frac{2}{x+1}
极限为有限值，必须有 a=2a=2. 此时极限为 −2−b-2-b，由题设
−2−b=2-2-b=2
得 b=−4b=-4. 所以 a−b=2−(−4)=6a-b=2-(-4)=6，选 D. \end{solution}
A.
−6-6
B.
−2-2
C.
2
D.
6

2009 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=12x−1+af(x) = \frac{1}{2^{x} - 1} + a 是奇函数，则 a=a =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 函数定义域为所有 x≠0x\ne0 的实数，且对任意 x≠0x\ne0，
f(−x)=12−x−1+a=2x1−2x+af(-x)=\frac{1}{2^{-x}-1}+a =\frac{2^x}{1-2^x}+a
所以
f(x)+f(−x)=12x−1+2x1−2x+2a=−1+2af(x)+f(-x) =\frac{1}{2^x-1}+\frac{2^x}{1-2^x}+2a =-1+2a
函数为奇函数当且仅当上式恒为 0，故 a=12a=\frac{1}{2}. \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
若定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足：对任意 x1x_{1}，x2∈Rx_{2} \in \mathbf{R} 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2}) + 1，则下列说法一定正确的是（ ）
A.
f(x)f(x) 为奇函数
B.
f(x)f(x) 为偶函数
C.
f(x)+1f(x) + 1 为奇函数
D.
f(x)+1f(x) + 1 为偶函数

2008 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x) = \begin{cases} 2x + 3 &
（当 x≠0 时\text{当 } x \neq 0 \text{ 时}）\\ a &（当 x=0 时\text{当 } x = 0 \text{ 时}）\end{cases} 在点 x=0x = 0 处连续，则 lim⁡n→∞an2+1a2n2+n=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a n^{2} + 1}{a^{2} n^{2} + n} =______.

2008 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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07不等式★★☆☆☆
函数 f(x)=xx+1f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1} 的最大值为（ ）
A.
25\frac{2}{5}
B.
12\frac{1}{2}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
11

2008 · 重庆 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
设正数 aa，bb 满足 lim⁡x→2(x2+ax−b)=4\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \left(x^{2} + ax - b\right) = 4，则 lim⁡n→∞an+1+abn−1an−1+2bn=\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a^{n+1} + ab^{n-1}}{a^{n-1} + 2b^n} =（ ）
A.
00
B.
14\frac{1}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
11

2007 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=2x2+2ax−a−1f(x) = \sqrt{2^{x^{2} + 2ax - a} - 1} 的定义域为 R\mathbf{R}，则 aa 的取值范围为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 为公比 q>1q > 1 的等比数列，若 a2004a_{2004} 和 a2006a_{2006} 是方程 4x2−8x+3=04x^{2} - 8x + 3 = 0 的两根，则 a2006+a2007=a_{2006} + a_{2007} =______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数为 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)，且 y=f(2x−1)y = f(2x - 1) 的图象过点 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right)，则 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象必过点（ ）
A.
(12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right)
B.
(1,12)\left(1, \frac{1}{2}\right)
C.
(1,0)(1,0)
D.
(0,1)(0,1)

2006 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，在 (−∞,0](- \infty, 0] 上是减函数，且 f(2)=0f(2) = 0，则使得 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,2)(-\infty, 2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
(−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)
D.
(−2,2)(-2, 2)

2005 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，在 (−∞,0](- \infty, 0] 上是减函数，且 f(2)=0f(2) = 0，则使得 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,2)(-\infty, 2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
(−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)
D.
(−2,2)(-2, 2)

2005 · 重庆 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
不等式组
{∣x−2∣<2,log⁡2(x2−1)>1\begin{cases} |x-2|<2,\\ \log_{2}(x^{2}-1)>1 \end{cases}
的解集为（ ）
A.
(0,3)(0, \sqrt{3})
B.
(3,2)(\sqrt{3}, 2)
C.
(3,4)(\sqrt{3}, 4)
D.
(2,4)(2,4)

2005 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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