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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)=x2f(x)=x^2，
g(x)={f(x),x≥0,−f(−x),x<0,g(x)=\displaystyle\begin{cases} f(x), & x\ge 0,\\ -f(-x), & x<0, \end{cases}
求 g(x)≤2−xg(x)\le 2-x 的 xx 的取值范围______ .

2024 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)=(x−1)2+ax+sin⁡(x+π2)f(x)=\left( x-1 \right)^2+ax+\sin\left( x+\frac{\pi}{2} \right). 若 f(x)f(x) 为偶函数，则 a=a=______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若 f(x)=(x−1)2+ax+sin⁡(x+π2)f(x)=\left(x-1\right)^2+ax+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) 为偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2−x+1f(x)=2^{-x}+1，且
g(x)={log⁡2(x+1),x≥0,f(−x),x<0,g(x)= \begin{cases} \log_2(x+1), &x\ge 0,\\ f(-x), &x<0, \end{cases}
则方程 g(x)=2g(x)=2 的解为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=Asin⁡x−3cos⁡xf(x)=A\sin x-\sqrt3\cos x 的一个零点为 π3\dfrac{\pi}{3}，则 A=A=______；f(π12)=f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=______.

2022 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为奇函数，且
f(x)={a2x−1,x<0,x+a,x>0,f(x)=\begin{cases} a^2x-1, & x<0,\\ x+a, & x>0, \end{cases}
则实数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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135分函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=x3(a⋅2x−2−x)f(x)=x^3\left( a\cdot 2^x-2^{-x} \right) 是偶函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x2−4,x>2,∣x−3∣+a,x≤2,f(x)=\begin{cases} x^{2}-4,&x>2,\\ |x-3|+a,&x\le 2, \end{cases}
若 f[f(6)]=3f\left[f(\sqrt{6})\right]=3，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 浙江 · 第 12 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是奇函数，且当 x<0x<0 时，f(x)=−eaxf(x)=-\mathrm{e}^{ax}. 若 f(ln⁡2)=8f(\ln2)=8，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=ex+ae−xf(x)=\mathrm{e}^x+a\mathrm{e}^{-x}（aa 为常数），若 f(x)f(x) 为奇函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}；若 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的增函数，则 aa 的取值范围是______.

2019 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
下图是一个算法流程图，则输出的 SS 的值是______.
\begin{answer} 55 \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=cos⁡ ⁣(3x+π6)f(x)=\cos\!\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right) 在 [0,π][0,\pi] 的零点个数为______.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
已知 α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}\alpha\in\{-2,-1,-\frac12,\frac12,1,2,3\}. 若幂函数 f(x)=xαf(x)=x^\alpha 为奇函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上递减，则 α=\alpha=______.

2018 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)f(x) 满足 f(x+4)=f(x)f(x+4)=f(x)（x∈Rx\in\mathbf{R}），且在区间 (−2,2](-2,2] 上，
f(x)={cos⁡πx2,0<x≤2,∣x+12∣,−2<x≤0,f(x)=\begin{cases} \cos\dfrac{\pi x}{2}, & 0<x\le2,\\ \left|x+\dfrac12\right|, & -2<x\le0, \end{cases}
则 f(f(15))f(f(15)) 的值为______.

2018 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★☆☆☆
已知 x≥0x\ge0，y≥0y\ge0，且 x+y=1x+y=1，则 x2+y2x^2+y^2 的取值范围是______.

2017 · 北京 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
记函数 f(x)=6+x−x2f(x)=\sqrt{6+x-x^2} 的定义域为 DD. 在区间 [−4,5][-4,5] 上随机取一个数 xx，则 x∈Dx\in D 的概率是______.

2017 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且 f(x+4)=f(x−2)f(x+4)=f(x-2). 若当 x∈[−3,0]x\in\left[-3,0\right] 时，f(x)=6−xf(x)=6^{-x}，则 f(919)=‾f(919)=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为偶函数，当 x<0x<0 时，f(x)=ln⁡(−x)+3xf(x)=\ln(-x)+3x，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,−3)(1,-3) 处的切线方程是______.

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 为偶函数，当 x≤0x\le0 时，f(x)=e−x−1−xf(x)=\mathrm{e}^{-x-1}-x，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,2)(1,2) 处的切线方程是______.

2016 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=xx−1f(x)=\dfrac{x}{x-1}（x≥2x\ge 2）的最大值为______.

2016 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x3+3x2+1f(x)=x^3+3x^2+1，已知 a≠0a\ne0，且 f(x)−f(a)=(x−b)(x−a)2f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)^2，x∈Rx\in\mathbf{R}，则实数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}，b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 浙江 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 22 的奇函数，当 0<x<10<x<1 时，f(x)=4xf(x)=4^x，则 f(−52)+f(1)=‾f\left(-\dfrac52\right)+f(1)=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 由周期性，
f(−52)=f(−12)f\left(-\dfrac52\right)=f\left(-\dfrac12\right)
由奇函数性质，
f(−12)=−f(12)=−412=−2f\left(-\frac12\right)=-f\left(\frac12\right)=-4^{\frac{1}{2}}=-2
又因周期为 22，有 f(−1)=f(1)f(-1)=f(1)；因奇函数 f(−1)=−f(1)f(-1)=-f(1)，所以 f(1)=0f(1)=0.故
f(−52)+f(1)=−2f\left(-\frac52\right)+f(1)=-2
\end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
若函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的周期为 22 的奇函数，当 0<x<10<x<1 时，f(x)=4xf(x)=4^x，则 f ⁣(−52)+f(2)=‾f\!\left(-\dfrac52\right)+f(2)=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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35函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的图像拼成如图所示的“Z”字形折线段 ABOCDABOCD，不含 A(0,1)A(0,1)， B(1,1)B(1,1)， O(0,0)O(0,0)， C(−1,−1)C(-1,-1)， D(0,−1)D(0,-1) 五个点，若 f(x)f(x) 的图像关于原点对称的图形即为 g(x)g(x) 的图像，则其中一个函数的解析式可以为______.
\begin{answer}
f(x)={x,−1<x<0,1,0<x<1.f(x)=\begin{cases} x,&-1<x<0,\\ 1,&0<x<1. \end{cases}
\end{answer}
\begin{solution} 取 ff 的图像为线段 OCOC 与 ABAB 去掉端点后的部分. 线段 OCOC 的两个端点为 (0,0)(0,0)、(−1,−1)(-1,-1)，故其方程为 y=xy=x，对应定义域为 −1<x<0-1<x<0；线段 ABAB 的方程为 y=1y=1，对应定义域为 0<x<10<x<1. 因此可取
f(x)={x,−1<x<0,1,0<x<1.f(x)=\begin{cases} x,&-1<x<0,\\ 1,&0<x<1. \end{cases}
其图像关于原点对称后为线段 BOBO 与 CDCD 去掉端点后的部分，和原图像恰好拼成折线段 ABOCDABOCD（不含题中五个点），所以该函数符合条件. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 35 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={x+2x−3,x⩾1,lg⁡(x2+1),x<1,f(x) = \begin{cases} x + \frac{2}{x} - 3, & x \geqslant 1,\\ \lg (x^2 + 1), & x < 1, \end{cases}
则 f(f(−3))=‾f(f(-3)) =\underline{\hspace{2em}}，f(x)f(x) 的最小值是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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