数迹
题目列表试卷列表
共找到 97 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
21函数与初等函数★★☆☆☆
已知矩阵
A=[2312]A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}
.
(1) 求 AA 的逆矩阵 A−1A^{-1}； (2) 若点 PP 在矩阵 AA 对应的变换作用下得到点 P′(3,1)P'(3,1)，求点 PP 的坐标.

2018 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★☆☆☆
已知矩阵
A=(0110)A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
，
B=(1002)B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 ABAB； (2) 若曲线 C1:x2+4y2=8C_1:x^2+4y^2=8 在矩阵 ABAB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2C_2，求 C2C_2 的方程.

2017 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

查看答案和解析
26函数与初等函数★★☆☆☆
已知 aa 为实数，函数 f(x)=x2+ax+4xf(x)=\frac{x^{2}+ax+4}{x} 是奇函数，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的最小值及取到最小值时所对应的 xx 的值.
\begin{solution} 函数定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(x)=x+a+4xf(x)=x+a+\frac4x. 由奇函数条件，对任意 x≠0x\neq0，有 f(−x)=−x+a−4xf(-x)=-x+a-\frac4x，而 −f(x)=−x−a−4x-f(x)=-x-a-\frac4x. 比较两式，得 a=−aa=-a，所以 a=0a=0. 因而在正半轴上 f(x)=x+4xf(x)=x+\frac4x.
当 x>0x>0 时，由基本不等式，x+4x≥2x⋅4x=4x+\frac4x\geq2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4，等号成立的条件是 x=4xx=\frac4x，即 x=2x=2. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 44，此时 x=2x=2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 26 题 · 解答题

查看答案和解析
20函数与初等函数★★☆☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \dfrac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=4a=4 时，函数定义域为 x≠2x\ne2. 设 y=2x+42x−4y=\dfrac{2^x+4}{2^x-4}，则 y(2x−4)=2x+4y(2^x-4)=2^x+4，所以 (y−1)2x=4(y+1)(y-1)2^x=4(y+1)，即 2x=4(y+1)y−12^x=\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 因而 x=log⁡24(y+1)y−1x=\log_2\dfrac{4(y+1)}{y-1}. 当 0<2x<40<2^x<4 时，y<−1y<-1；当 2x>42^x>4 时，y>1y>1，所以值域为 (−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). 交换自变量与因变量，得 f−1(x)=log⁡24x+4x−1f^{-1}(x)=\log_2\dfrac{4x+4}{x-1}，定义域为 x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty). \item 当 a=0a=0 时，f(x)=1f(x)=1，定义域为 R\mathbf{R}，且 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，所以是偶函数. 当 a=1a=1 时，定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(−x)=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−2x+12x−1=−f(x)f(-x)=\dfrac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\dfrac{1+2^x}{1-2^x}=-\dfrac{2^x+1}{2^x-1}=-f(x)，所以是奇函数. 当 a>0a>0 且 a≠1a\ne1 时，定义域为 R\{log⁡2a}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{\log_2a\}，被排除的点不为 00，定义域不关于原点对称，因而既不是奇函数也不是偶函数. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
25不等式★★☆☆☆
已知不等式 x−2x+1<0\frac{x-2}{x+1}<0 的解集为集合 AA，函数 y=lg⁡(x−1)y=\lg(x-1) 的定义域为集合 BB，求 A∩BA\cap B.

2014 · 上海 · 春季 · 第 25 题 · 解答题

查看答案和解析
26函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=x2−4x+af(x)=x^{2}-4x+a，x∈[−3,3]x\in[-3,3]. 若 f(1)=2f(1)=2，求 y=f(x)y=f(x) 的最大值和最小值.

2014 · 上海 · 春季 · 第 26 题 · 解答题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★☆☆☆
设曲线 2x2+2xy+y2=12x^{2} + 2xy + y^{2} = 1 在矩阵
A=(a0b1)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}
（a>0a > 0）对应的变换作用下得到的曲线为 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求 A2A^{2} 的逆矩阵.

2012 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
24不等式★★☆☆☆
已知函数 f(x)=∣x−8∣−∣x−4∣f(x) = |x - 8| - |x - 4|.
(1) 作出函数 y=f(x)y = f(x) 的图象； (2) 解不等式 ∣x−8∣−∣x−4∣>2|x - 8| - |x - 4| > 2.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 按绝对值定义分三种情况：
f(x)={(8−x)−(4−x)=4,x≤4,(8−x)−(x−4)=−2x+12,4<x≤8,(x−8)−(x−4)=−4,x>8.f(x)=\begin{cases} \left(8-x\right)-\left(4-x\right)=4,&x\le4,\\ \left(8-x\right)-\left(x-4\right)=-2x+12,&4<x\le8,\\ \left(x-8\right)-\left(x-4\right)=-4,&x>8. \end{cases}
所以函数图象由直线 y=4y=4 在 x≤4x\le4 上的部分、连接点 (4,4)\left(4,4\right) 与 (8,−4)\left(8,-4\right) 的线段 y=−2x+12y=-2x+12，以及直线 y=−4y=-4 在 x>8x>8 上的部分组成. 以 (4,4)\left(4,4\right)、(8,−4)\left(8,-4\right) 为转折点即可在题图坐标系中作出图象. \item 同样分情况讨论. 当 x≤4x\le4 时，f(x)=4>2f(x)=4>2，所以得到 x≤4x\le4. 当 4<x≤84<x\le8 时，
−2x+12>2⟺x<5-2x+12>2\Longleftrightarrow x<5
与本区间合并得 4<x<54<x<5. 当 x>8x>8 时，f(x)=−4f(x)=-4，不满足不等式. 因而解集为
(−∞,4]∪(4,5)=(−∞,5)\left(-\infty,4\right]\cup\left(4,5\right)=\left(-\infty,5\right)
\end{enumerate} \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

查看答案和解析
24不等式★★☆☆☆
设函数 f(x)=∣2x+1∣−∣x−4∣f(x) = |2x + 1| - |x - 4|.
(1) 解不等式 f(x)>2f(x) > 2； (2) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的最小值.

2007 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

查看答案和解析
15函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=lg⁡(2x−3)f(x)=\lg(2x-3) 的定义域为集合 MM，函数 g(x)=1−2x−1g(x)=\sqrt{1-\dfrac{2}{x-1}} 的定义域为集合 NN. 求：
(1) 集合 MM，NN； (2) 集合 M∩NM\cap N，M∪NM\cup N.

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设函数 f(x)=lg⁡(2x−3)f(x)=\lg(2x-3) 的定义域为集合 MM，函数 g(x)=(x−3)(x−1)g(x)=\sqrt{(x-3)(x-1)} 的定义域为集合 NN. 求：
(1) 集合 MM，NN； (2) 集合 M∩NM\cap N，M∪NM\cup N.

2005 · 北京 · 春季 · 文 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★☆☆☆
某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元40\text{ 元}，出厂单价定为 60 元60\text{ 元}. 该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个100\text{ 个} 时，每多订购 1 个1\text{ 个}，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元0.02\text{ 元}，但实际出厂单价不能低于 51 元51\text{ 元}.
(1) 当一次订购量为多少个\text{个}时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元51\text{ 元}？ (2) 设一次订购量为 x 个x\text{ 个}，零件的实际出厂单价为 P 元P\text{ 元}，写出函数 P=f(x)P=f(x) 的表达式； (3) 当销售商一次订购 500 个500\text{ 个}零件时，该厂获得的利润是多少元\text{元}？如果订购 1000 个1000\text{ 个}，利润又是多少元\text{元}？（工厂售出一个零件的利润 == 实际出厂单价 −- 成本）

2004 · 北京 · 春季 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★☆☆☆
某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 4040 元，出厂单价定为 6060 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低 0.020.02 元. 根据市场调查，经销商一次订购量不会超过 500500 件.
(1) 设一次订购量为 xx 件，服装的实际出厂单价为 PP 元，写出函数 P=f(x)P=f(x) 的表达式； (2) 当销售商一次订购 400400 件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价−成本\text{利润} = \text{实际出厂单价} - \text{成本}）

2004 · 北京 · 春季 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
18不等式★★☆☆☆
已知实数 pp 满足不等式 2p+1p+2<0\frac{2p+1}{p+2}<0，试判断方程 z2−2z+5−p2=0z^2-2z+5-p^2=0 有无实根，并给出证明.

2004 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是偶函数，而且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，判断 f(x)f(x) 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
\begin{solution} 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是减函数. 任取 x1x_{1}，x2∈(−∞,0)x_{2}\in\left(-\infty,0\right)，且 x1<x2<0x_{1}<x_{2}<0，则 −x1>−x2>0-x_{1}>-x_{2}>0. 由 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，得 f(−x1)>f(−x2)f(-x_{1})>f(-x_{2}). 又因为 f(x)f(x) 是偶函数，所以 f(x1)=f(−x1)f(x_{1})=f(-x_{1})，f(x2)=f(−x2)f(x_{2})=f(-x_{2})，从而 f(x1)>f(x2)f(x_{1})>f(x_{2}). 因此，当 x1<x2<0x_{1}<x_{2}<0 时总有 f(x1)>f(x2)f(x_{1})>f(x_{2})，故 f(x)f(x) 在 (−∞,0)\left(-\infty,0\right) 上是减函数. \end{solution}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是偶函数，而且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，判断 f(x)f(x) 在 (−∞,0)(-\infty,0) 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
20函数与初等函数★★☆☆☆
假设 AA 型进口车关税税率在 20012001 年是 100%100\%，在 20062006 年是 25%25\%，20012001 年 AA 型进口车每辆价格为 64 万元64\text{ 万元}（其中含 32 万元32\text{ 万元}关税税款）.
(1) 已知与 AA 型车性能相近的 BB 型国产车，20012001 年每辆价格为 46 万元46\text{ 万元}，若 AA 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证 20062006 年 BB 型车的价格不高于 AA 型车价格的 90%，BB 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？ (2) 某人在 20012001 年将 33 万元33\text{ 万元}存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%1.8\%（55 年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的 BB 型车一辆？

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21指数函数与对数函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=∣lg⁡x∣f(x)=|\lg x|，若 0<a<b0<a<b，且 f(a)>f(b)f(a)>f(b)，证明：ab<1ab<1.

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★☆☆☆
已知二次函数 f(x)=(lg⁡a)x2+2x+4lg⁡af(x)=(\lg a)x^2+2x+4\lg a 的最大值为 33，求 aa 的值.

2000 · 京皖 · 春季 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
17指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：3lg⁡x−2−3lg⁡x+4=0\sqrt{3\lg x-2}-3\lg x+4=0.

1999 · 广东 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
22函数与初等函数★★☆☆☆
公园要建造一个圆形的喷水池. 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OAOA. OO 恰在水面中心，OA=1.25 米OA=1.25\text{ 米}. 安置在柱子顶端 AA 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OAOA 的任一平面上抛物线路径如图所示. 为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到 OAOA 距离为 1 米1\text{ 米} 处达到距水面最大高度 2.25 米2.25\text{ 米}. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外.

1997 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★☆☆☆
公园要建造一个圆形的喷水池. 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OAOA，OO 恰在水面中心，OA=1.25 米OA=1.25\text{ 米}. 安置在柱子顶端 AA 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OAOA 的任一平面上抛物线路径如图所示. 为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到 OAOA 距离为 1 米1\text{ 米} 处达到距水面最大高度 2.25 米2.25\text{ 米}. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少 米\text{ 米}，才能使喷出的水流不致落到池外.

1997 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
24函数与初等函数★★☆☆☆
在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点 A(0,9)A(0,9)，其轨迹方程为 y=ax2+cy=ax^{2}+c（a<0a<0），D=(6,7)D=(6,7) 为 xx 轴上的给定区间.
(1) 为使物体落在 DD 内，求 aa 的取值范围； (2) 若物体运动时又经过点 P(2,8.1)P(2,8.1)，问它能否落在 DD 内？并说明理由.

1996 · 上海 · 理 · 第 24 题 · 解答题

查看答案和解析
25指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：lg⁡(x2+4x−26)−lg⁡(x−3)=1\lg (x^2 + 4x - 26) - \lg (x - 3) = 1.

1993 · 全国 · 文 · 第 25 题 · 解答题

查看答案和解析
24指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 f(x)=log⁡a1+x1−xf(x)=\log_a\frac{1+x}{1-x}（a>0a>0，a≠1a\neq 1）.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域； (2) 判断 f(x)f(x) 的奇偶性并予以证明； (3) 求使 f(x)>0f(x)>0 的 xx 取值范围.

1993 · 京湘鄂云琼贵 · 理 · 第 24 题 · 解答题

查看答案和解析