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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 A={x∣x2−4≤0}A=\{x\mid x^2-4\le 0\}，B={x∣2x+a≤0}B=\{x\mid 2x+a\le 0\}，且 A∩B={x∣−2≤x≤1}A\cap B=\{x\mid -2\le x\le 1\}，则 a=a=（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
−4-4
B.
−2-2
C.
22
D.
44

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0\begin{cases} 2x+y-2\le 0,\\ x-y-1\ge 0,\\ y+1\ge 0 \end{cases}
，则 z=x+7yz=x+7y 的最大值为______.
\begin{answer} 1 \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,\begin{cases} 2x+y-2\le 0,\\ x-y-1\ge 0,\\ y+1\ge 0, \end{cases}
，则 z=x+7yz=x+7y 的最大值为______.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0\begin{cases} x-2y-2\le0,\\ x-y+1\ge0,\\ y\le0 \end{cases}
，则 z=3x+2yz=3x+2y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0\begin{cases} x-2y-2\le0,\\ x-y+1\ge0,\\ y\le0 \end{cases}
，则 z=3x+2yz=3x+2y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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04不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾−1,2x−y⩽1,y⩽1,\begin{cases} x + y \geqslant -1,\\ 2x - y \leqslant 1,\\ y \leqslant 1, \end{cases}
则 z=3x−yz = 3x - y 的最小值为（ ）
A.
−7-7
B.
−1-1
C.
1
D.
2

2015 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾1,y−x⩽1,x⩽1,\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ y - x \leqslant 1,\\ x \leqslant 1, \end{cases}
则 z=2x−yz = 2x - y 的最小值为（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22

2015 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为 pp，第二年的增长率为 qq，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设第一年初生产总值为 GG，两年平均增长率为 rr. 两年后生产总值一方面为 G(1+p)(1+q)G(1+p)(1+q)，另一方面为 G(1+r)2G(1+r)^2. 因此
(1+r)2=(1+p)(1+q)(1+r)^2=(1+p)(1+q)
由于连续两年增长，取正平方根得 1+r=(1+p)(1+q)1+r=\sqrt{(1+p)(1+q)}，所以
r=(1+p)(1+q)−1r=\sqrt{(1+p)(1+q)}-1
故选 D. \end{solution}
A.
p+q2\frac{p + q}{2}
B.
(p+1)(q+1)−12\frac{\left(p + 1\right)\left(q + 1\right) - 1}{2}
C.
pq\sqrt{pq}
D.
(p+1)(q+1)−1\sqrt{\left(p + 1\right)\left(q + 1\right)} - 1

2014 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
若关于 xx 的不等式 ∣ax−2∣<3\left|ax - 2\right| < 3 的解集为 {x∣−53<x<13}\left\{x\mid -\frac{5}{3} < x < \frac{1}{3}\right\}，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} −3-3 \end{answer}
\begin{solution} 由绝对值不等式得
−3<ax−2<3-3<ax-2<3
即 −1<ax<5-1<ax<5. 若 a=0a=0，则不等式恒成立，解集为 R\mathbf{R}，与题设不符. 若 a>0a>0，则解集为 (−1a,5a)\left(-\frac{1}{a},\frac{5}{a}\right)，其左端点与右端点的绝对值之比为 1:51:5，与题给解集不符. 因而 a<0a<0，除以 aa 时不等号方向改变，解集为 (5a,−1a)\left(\frac{5}{a},-\frac{1}{a}\right). 比较端点得 5a=−53\frac{5}{a}=-\frac{5}{3}，所以 a=−3a=-3，并且右端点也确为 −1a=13-\frac{1}{a}=\frac{1}{3}. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩽4,y⩾k,\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \leqslant 4,\\ y \geqslant k, \end{cases}
且 z=2x+yz = 2x + y 的最小值为−6-6，则 k=k =______. \begin{answer} −2-2 \end{answer}
\begin{solution} 由 y⩽xy\leqslant x 及目标函数中 xx 的系数为正，对固定的 yy，使 z=2x+yz=2x+y 取得最小值时应取 x=yx=y. 于是 z⩾3yz\geqslant3y. 约束还给出 y⩾ky\geqslant k，所以在可行域内
z⩾3y⩾3kz\geqslant3y\geqslant3k
取 x=y=kx=y=k 时，第三个约束和第一个约束均满足；只要可行域存在，还需 2k⩽42k\leqslant4，本题所得 kk 满足这一条件. 因而最小值为 3k3k，由 3k=−63k=-6 得 k=−2k=-2. 此时 (x,y)=(−2,−2)(x,y)=(-2,-2) 可行，故结论成立. \end{solution}

2014 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩽4,y⩾1,\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \leqslant 4,\\ y \geqslant 1, \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值为______.

2014 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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04不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足的约束条件
{y⩽2x,x+y⩽1,y⩾−1,\begin{cases} y \leqslant 2x,\\ x + y \leqslant 1,\\ y \geqslant -1, \end{cases}
则 x+2yx + 2y 的最大值是（ ）
A.
−52-\frac{5}{2}
B.
0
C.
53\frac{5}{3}
D.
52\frac{5}{2}

2013 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y⩽8,0⩽x⩽4,0⩽y⩽3,\begin{cases} x + 2y \leqslant 8,\\ 0 \leqslant x \leqslant 4,\\ 0 \leqslant y \leqslant 3, \end{cases}
则 x+yx + y 的最大值为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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10不等式★★☆☆☆
不等式 ∣2x+1∣−2∣x−1∣>0|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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06解析几何★★☆☆☆
已知 DD 是由不等式组
{x−2y⩾0x+3y⩾0\begin{cases} x - 2y \geqslant 0\\ x + 3y \geqslant 0 \end{cases}
所确定的平面区域. 则圆 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 在区域 DD 内的弧长为（ ）
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
3π4\frac{3\pi}{4}
D.
3π2\frac{3\pi}{2}

2009 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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11不等式★★☆☆☆
若 x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则 2tan⁡x+tan⁡(π2−x)2\tan x + \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right) 的最小值为______.

2009 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
“∣x−1∣<2\lvert x-1\rvert<2 成立”是“x(x−3)<0x(x-3)<0 成立”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
已知变量 xx，yy 满足
{x⩾1,y⩽2,x−y⩽0,\begin{cases} x \geqslant 1,\\ y \leqslant 2,\\ x - y \leqslant 0, \end{cases}
则 x+yx + y 的最小值是（ ）
\begin{solution} 由 x−y⩽0x-y\leqslant0 得 x⩽yx\leqslant y. 因为 x⩾1x\geqslant1，所以 x+y⩾2x⩾2x+y\geqslant2x\geqslant2. 当 x=y=1x=y=1 时，三个条件均成立，且 x+y=2x+y=2，故最小值为 22. 因此选 C. \end{solution}
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2008 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
已知
{x⩾1,x−y+1⩽0,2x−y−2⩽0\begin{cases} x\geqslant1,\\ x-y+1\leqslant0,\\ 2x-y-2\leqslant0 \end{cases}
，则 x2+y2x^2+y^2 的最小值是______.

2006 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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04不等式★★☆☆☆
已知点 P(x,y)P(x, y) 在不等式组
{x−2⩽0,y−1⩽0,x+2y−2⩾0\begin{cases} x - 2 \leqslant 0,\\ y - 1 \leqslant 0,\\ x + 2y - 2 \geqslant 0 \end{cases}
表示的平面区域上运动，则 z=x−yz = x - y 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由 x+2y−2⩾0x+2y-2\geqslant0 得 x⩾2−2yx\geqslant2-2y，再结合 x⩽2x\leqslant2，可知 y⩾0y\geqslant0. 因而区域可写为 0⩽y⩽10\leqslant y\leqslant1，2−2y⩽x⩽22-2y\leqslant x\leqslant2. 对固定的 yy，有 2−3y⩽x−y⩽2−y2-3y\leqslant x-y\leqslant2-y. 当 0⩽y⩽10\leqslant y\leqslant1 时，左端的最小值为 −1-1，右端的最大值为 22，所以 zz 不超出 [−1,2][-1,2]. 又边界线段 x=2−2yx=2-2y，0⩽y⩽10\leqslant y\leqslant1 完全位于该区域内，且其上 z=2−3yz=2-3y 连续取得从 −1-1 到 22 的所有值，故 zz 的取值范围为 [−1,2][-1,2]，选 C. \end{solution}
A.
[−2,−1][-2, -1]
B.
[−2,1][-2, 1]
C.
[−1,2][-1, 2]
D.
[1,2][1, 2]

2005 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 是函数 f(x)=xf(x) = \sqrt{x} 的反函数，则下列不等式中恒成立的是（\quad）
A.
f−1(x)⩽2x−1f^{-1}(x)\leqslant 2x - 1
B.
f−1(x)⩽2x+1f^{-1}(x)\leqslant 2x + 1
C.
f−1(x)⩾2x−1f^{-1}(x)\geqslant 2x - 1
D.
f−1(x)⩾2x+1f^{-1}(x)\geqslant 2x + 1

2004 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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