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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 2∣x+1∣+∣x∣<42\lvert x+1\rvert+\lvert x\rvert<4.

2020 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 ∣x∣+∣2x−1∣>2|x|+|2x-1|>2.

2019 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 a2+b2=4a^2+b^2=4，c2+d2=16c^2+d^2=16，证明 ac+bd≤8ac+bd\le 8.

2017 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 a>0a>0，∣x−1∣<a3|x-1|<\dfrac a3，∣y−2∣<a3|y-2|<\dfrac a3，求证：∣2x+y−4∣<a|2x+y-4|<a.

2016 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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26函数与初等函数★★☆☆☆
已知 aa 为实数，函数 f(x)=x2+ax+4xf(x)=\frac{x^{2}+ax+4}{x} 是奇函数，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的最小值及取到最小值时所对应的 xx 的值.
\begin{solution} 函数定义域为 R\{0}\mathbf{R}\mathbin{\backslash}\{0\}，且 f(x)=x+a+4xf(x)=x+a+\frac4x. 由奇函数条件，对任意 x≠0x\neq0，有 f(−x)=−x+a−4xf(-x)=-x+a-\frac4x，而 −f(x)=−x−a−4x-f(x)=-x-a-\frac4x. 比较两式，得 a=−aa=-a，所以 a=0a=0. 因而在正半轴上 f(x)=x+4xf(x)=x+\frac4x.
当 x>0x>0 时，由基本不等式，x+4x≥2x⋅4x=4x+\frac4x\geq2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4，等号成立的条件是 x=4xx=\frac4x，即 x=2x=2. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 44，此时 x=2x=2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 26 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
解不等式 x+∣2x+3∣≥2x + |2x + 3| \ge 2.

2015 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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25不等式★★☆☆☆
已知不等式 x−2x+1<0\frac{x-2}{x+1}<0 的解集为集合 AA，函数 y=lg⁡(x−1)y=\lg(x-1) 的定义域为集合 BB，求 A∩BA\cap B.

2014 · 上海 · 春季 · 第 25 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=∣x+1∣+∣x−2∣f(x) = |x + 1| + |x - 2| 的最小值为 aa.
(1) 求 aa 的值； (2) 若 pp，qq，rr 为正实数，且 p+q+r=ap + q + r = a，求证：p2+q2+r2⩾3p^2 + q^2 + r^2 \geqslant 3.

2014 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
设不等式 ∣x−2∣<a|x - 2| < a（a∈N∗a \in \mathbf{N}^{*}）的解集为 AA，且 32∈A\frac{3}{2} \in A， 12∉A\ \frac{1}{2} \notin A.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−2∣f(x) = |x + a| + |x - 2| 的最小值.

2013 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d=1d = 1，前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若 11，a1a_{1}，a3a_{3} 成等比数列，求 a1a_{1}； (2) 若 S5>a1a9S_{5} > a_{1}a_{9}，求 a1a_{1} 的取值范围.

2013 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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24不等式★★☆☆☆
设函数 f(x)=∣x−a∣+3xf(x)=|x-a|+3x，其中 a>0a>0.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)⩾3x+2f(x)\geqslant 3x+2 的解集； (2) 若不等式 f(x)⩽0f(x)\leqslant 0 的解集为 {x∣x⩽−1}\{x\mid x\leqslant -1\}，求 aa 的值.

2011 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★☆☆☆
设函数 f(x)=∣x−a∣+3xf(x) = |x - a| + 3x，其中 a>0a > 0.
(1) 当 a=1a = 1 时，求不等式 f(x)⩾3x+2f(x) \geqslant 3x + 2 的解集； (2) 若不等式 f(x)⩽0f(x) \leqslant 0 的解集为 {x∣x⩽−1}\{x \mid x \leqslant -1\}，求 aa 的值.

2011 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 a≥b>0a\ge b>0，求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab23a^3+2b^3\ge3a^2b+2ab^2.

2009 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
解不等式 ∣2x−1∣<∣x∣+1|2x - 1| < |x| + 1.
\begin{solution} 两边均为非负数，可以平方而不改变不等号方向，得
(2x−1)2<(∣x∣+1)2⟺3x2−4x<2∣x∣(2x-1)^2<(|x|+1)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2-4x<2|x|
当x⩾0x\geqslant0时，∣x∣=x|x|=x，所以 3x2−6x<03x^2-6x<0，即0<x<20<x<2. 当x<0x<0时，∣x∣=−x|x|=-x，所以 3x2−2x<03x^2-2x<0，即x(3x−2)<0x(3x-2)<0，但此时两个因子均为负，乘积为正，无解. 综上，不等式的解集为(0,2)(0,2). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★☆☆☆
已知函数 f(x)=∣x−8∣−∣x−4∣f(x) = |x - 8| - |x - 4|.
(1) 作出函数 y=f(x)y = f(x) 的图象； (2) 解不等式 ∣x−8∣−∣x−4∣>2|x - 8| - |x - 4| > 2.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 按绝对值定义分三种情况：
f(x)={(8−x)−(4−x)=4,x≤4,(8−x)−(x−4)=−2x+12,4<x≤8,(x−8)−(x−4)=−4,x>8.f(x)=\begin{cases} \left(8-x\right)-\left(4-x\right)=4,&x\le4,\\ \left(8-x\right)-\left(x-4\right)=-2x+12,&4<x\le8,\\ \left(x-8\right)-\left(x-4\right)=-4,&x>8. \end{cases}
所以函数图象由直线 y=4y=4 在 x≤4x\le4 上的部分、连接点 (4,4)\left(4,4\right) 与 (8,−4)\left(8,-4\right) 的线段 y=−2x+12y=-2x+12，以及直线 y=−4y=-4 在 x>8x>8 上的部分组成. 以 (4,4)\left(4,4\right)、(8,−4)\left(8,-4\right) 为转折点即可在题图坐标系中作出图象. \item 同样分情况讨论. 当 x≤4x\le4 时，f(x)=4>2f(x)=4>2，所以得到 x≤4x\le4. 当 4<x≤84<x\le8 时，
−2x+12>2⟺x<5-2x+12>2\Longleftrightarrow x<5
与本区间合并得 4<x<54<x<5. 当 x>8x>8 时，f(x)=−4f(x)=-4，不满足不等式. 因而解集为
(−∞,4]∪(4,5)=(−∞,5)\left(-\infty,4\right]\cup\left(4,5\right)=\left(-\infty,5\right)
\end{enumerate} \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★☆☆☆
设函数 f(x)=∣2x+1∣−∣x−4∣f(x) = |2x + 1| - |x - 4|.
(1) 解不等式 f(x)>2f(x) > 2； (2) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的最小值.

2007 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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16不等式★★☆☆☆
解不等式：(∣3x−1∣−1)(sin⁡x−2)>0(|3x-1|-1)(\sin x-2)>0.

2007 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17不等式★★☆☆☆
设函数 f(x)=2∣x+1∣−∣x−1∣f(x) = 2^{|x + 1| - |x - 1|}，求使 f(x)⩾22f(x) \geqslant 2\sqrt{2} 的 xx 的取值范围.

2005 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18指数函数与对数函数★★☆☆☆
解方程：4x+∣1−2x∣=114^{x} + |1 - 2^{x}| = 11.

2004 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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15不等式★★☆☆☆
解不等式：2x−1>x−2\sqrt{2x-1}>x-2.

2004 · 北京 · 春季 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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18不等式★★☆☆☆
已知实数 pp 满足不等式 2p+1p+2<0\frac{2p+1}{p+2}<0，试判断方程 z2−2z+5−p2=0z^2-2z+5-p^2=0 有无实根，并给出证明.

2004 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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17指数函数与对数函数★★☆☆☆
解不等式：log⁡2(x2−x−2)>log⁡2(2x−2)\log_{2}(x^2-x-2)>\log_{2}(2x-2).
\begin{solution} 因为对数的真数必须为正数，所以必须同时满足 x2−x−2>0x^2-x-2>0 和 2x−2>02x-2>0. 分别因式分解，得 (x−2)(x+1)>0(x-2)(x+1)>0，从而 x<−1x<-1 或 x>2x>2；又由 2x−2>02x-2>0 得 x>1x>1. 因此定义域为 x>2x>2.
因为底数 2>12>1，对数函数在正数范围内递增，所以原不等式等价于
x2−x−2>2x−2⟺x2−3x>0⟺x(x−3)>0x^2-x-2>2x-2 \Longleftrightarrow x^2-3x>0 \Longleftrightarrow x(x-3)>0
其解为 x<0x<0 或 x>3x>3. 与定义域 x>2x>2 取交集，得 x>3x>3. 所以原不等式的解集为 (3,+∞)(3,+\infty). \end{solution}

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17不等式★★☆☆☆
解不等式组：
{x2−6x+8>0,x+3x−1>2.\begin{cases} x^{2} - 6x + 8 > 0,\\ \dfrac{x + 3}{x - 1} > 2. \end{cases}

2003 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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17不等式★★☆☆☆
解不等式 2x−1+2>x\sqrt{2x-1}+2>x.

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★☆☆☆
假设 AA 型进口车关税税率在 20012001 年是 100%100\%，在 20062006 年是 25%25\%，20012001 年 AA 型进口车每辆价格为 64 万元64\text{ 万元}（其中含 32 万元32\text{ 万元}关税税款）.
(1) 已知与 AA 型车性能相近的 BB 型国产车，20012001 年每辆价格为 46 万元46\text{ 万元}，若 AA 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证 20062006 年 BB 型车的价格不高于 AA 型车价格的 90%，BB 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？ (2) 某人在 20012001 年将 33 万元33\text{ 万元}存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%1.8\%（55 年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的 BB 型车一辆？

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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