真题题库 | 数迹

甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为

7.4

乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于

8

甲同学周课外体育运动时长大于

8

的概率的估计值大于

0.4

乙同学周课外体育运动时长大于

8

的概率的估计值大于

0.6

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

\begin{answer} B \end{answer}

08概率与统计★★☆☆☆

在区间

(0,1)

与

(1,2)

中各随机取

1

个数，则两数之和大于

\frac{7}{4}

的概率为（）

\frac{7}{9}

\frac{23}{32}

\frac{9}{32}

\frac{2}{9}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了

17概率与统计★★☆☆☆

10

件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为

x

y

，样本方差分别记为

s_1^2

s_2^2

(1) 求

x

y

s_1^2

； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

s_2^2

\dfrac{y-x}{\sqrt{\frac{\left( s_1^2+s_2^2 \right)}{10}}}\ge 2

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了

17概率与统计★★☆☆☆

10

件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为

\bar{x}

\bar{y}

，样本方差分别记为

s_1^2

s_2^2

(1) 求

\bar{x}

\bar{y}

s_1^2

； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

s_2^2

\bar{y}-\bar{x}\ge2\sqrt{\dfrac{s_1^2+s_2^2}{10}}

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

05概率与统计★★☆☆☆

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率

y

x

（单位：

{}^\circ\mathrm{C}

）的关系，在

20

个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据

\left( x_i,y_i \right)

（

i=1

2

\cdots

20

）得到下面的散点图：

由此散点图，在

10{}^\circ\mathrm{C}

至

40{}^\circ\mathrm{C}

之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率

y

\begin{answer} D \end{answer}

x

的回归方程类型的是（）

y=a+bx

y=a+bx^2

y=a+b\mathrm{e}^x

y=a+b\ln x

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

04概率与统计★★☆☆☆

设

O

为正方形

ABCD

的中心，在

O

A

B

C

D

中任取

3

点，则取到的

3

点共线的概率为（）

\dfrac{1}{5}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{4}{5}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

05概率与统计★★☆☆☆

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率

y

x

（单位：

^{\circ}\mathrm{C}

）的关系，在

20

个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据

(x_i,y_i)

（

i=1

2

\cdots

20

）得到下面的散点图：

由此散点图，在

10^{\circ}\mathrm{C}

至

40^{\circ}\mathrm{C}

之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率

y

x

的回归方程类型的是（）

y=a+bx

y=a+bx^2

y=a+b\mathrm{e}^x

y=a+b\ln x

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费

17概率与统计★★☆☆☆

90

元，

50

元，

20

元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费

50

元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为

25

元/件，乙分厂加工成本费为

20

元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了

100

件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为

A

级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的

100

件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的

06概率与统计★★☆☆☆

6

个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”. 如图就是一“重卦”. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有

3

个阳爻的概率是（）

\begin{answer} A \end{answer}

\dfrac{5}{16}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{16}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

17概率与统计★★☆☆☆

某商场为提高服务质量，随机调查了

50

名男顾客和

50

	满意	不满意
女顾客	30	20

(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有

95\%

的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

$P(K^2\ge k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

03概率与统计★★☆☆☆

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

06概率与统计★★☆☆☆

若样本数据

x_{1}

x_{2}

\cdots

x_{10}

的标准差为 8，则数据

2x_{1}-1

2x_{2}-1

\cdots

\begin{solution} 设原数据的平均数为

2x_{10}-1

的标准差为（）

\overline{x}

，则变换后数据的平均数为

2\overline{x}-1

. 因而变换后每个数据与新平均数之差为

(2x_i-1)-(2\overline{x}-1)=2(x_i-\overline{x})

标准差是偏差平方平均数的算术平方根，所以标准差扩大为原来的

|2|=2

倍，得到

2\times8=16

. 故选 C. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 6 题 · 选择题

\begin{answer} B \end{answer}

07概率与统计★★☆☆☆

执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的

n

为（）

\begin{solution} 程序开始时

a=1

n=1

. 第一次判断中，

|1-1.414|=0.414\geqslant0.005

，所以更新得

a=1+\frac{1}{1+1}=1.5

，并令

n=2

第二次判断中，

|1.5-1.414|=0.086\geqslant0.005

，所以更新得

a=1+\frac{1}{1+1.5}=1.4

，并令

n=3

第三次判断中，

|1.4-1.414|=0.014\geqslant0.005

，所以更新得

a=1+\frac{1}{1+1.4}=1+\frac{5}{12}=\frac{17}{12}

，并令

n=4

此时

\left|\frac{17}{12}-1.414\right|=\left|\frac{17}{12}-\frac{707}{500}\right|=\frac{1}{375}<0.005

满足停止条件，程序输出

n=4

. 所以应选 B. \end{solution}

3

4

5

6

2015 · 安徽 · 文 · 第 7 题 · 选择题

某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86，94，88，92，90. 五名女生的成绩分别为 88，93，93，88，93. 下列说法一定正确的是（）

05概率与统计★★☆☆☆

这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

2013 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

若某公司从五位大学毕业生甲，乙，丙，丁，戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）

05概率与统计★★☆☆☆

\frac{2}{3}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{9}{10}

2013 · 安徽 · 文 · 第 5 题 · 选择题

为调查甲，乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况. 用简单随机抽样，从这两校中各抽取

17概率与统计★★☆☆☆

30

名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：

(1) 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为

0.05

，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（

60

分及

60

分以上为及格）； (2) 设甲，乙两校高三年级学生这次联考平均成绩分别为

\bar{x}_{1}

\bar{x}_{2}

，估计

\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}

的值.

\begin{array}{c} \multicolumn{1}{c}{甲} & \ & \multicolumn{1}{c}{乙} \\ \hline $7$ & 4 & $5$ \\ $5\;3\;3\;2$ & 5 & $3\;3\;8$ \\ $5\;5\;4\;3\;3\;3\;1\;0\;0$ & 6 & $0\;0\;0\;1\;1\;2\;2\;3\;3\;5$ \\ $8\;6\;6\;2\;2\;1\;1\;0\;0$ & 7 & $0\;0\;2\;2\;2\;3\;3\;6\;6\;9$ \\ $7\;5\;4\;4\;2$ & 8 & $1\;1\;5\;5\;8$ \\ $2\;0$ & 9 & $0$ \end{array}

2013 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球. 从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）

10概率与统计★★☆☆☆

\frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

\frac{4}{5}

2012 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

时，则视为合格品，否则视为不合格品. 在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品. 计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：

18概率与统计★★☆☆☆

若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过

1\mathrm{~mm}

$[-2,-1)$	8	\fillinblank{}
$(1,2]$	\fillinblank{}	0.50
$(2,3]$	10	\fillinblank{}
$(3,4]$	\fillinblank{}	\fillinblank{}

(1) 将上面表格中缺少的数据补充完整； (2) 估计该厂生产的这种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间

(1,3]

内的概率； (3) 现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 20 件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数.

2012 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

20概率与统计★★☆☆☆

年份	$2002$	$2004$	$2006$	$2008$	$2010$

(1) 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程

\hat{y} = bx + a

； (2) 利用（1）中所求出的直线方程预测该地

2012

年的粮食需求量.

2011 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）

10概率与统计★★☆☆☆

\frac{3}{18}

\frac{3}{18}

\frac{5}{18}

\frac{6}{18}

2010 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

. 依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有

14概率与统计★★☆☆☆

某地有居民

100000\text{ 户}

，其中普通家庭

99000\text{ 户}

，高收入家庭

1000\text{ 户}

. 从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取

990\text{ 户}

，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取

100\text{ 户}

进行调查，发现共有

120\text{ 户}

家庭拥有

3\text{ 套}

或

3\text{ 套}

以上住房，其中普通家庭

50\text{ 户}

，高收入家庭

70\text{ 户}

3\text{ 套}

或

3\text{ 套}

以上住房的家庭所占比例的合理估计是______.

2010 · 安徽 · 文 · 第 14 题 · 填空题

日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：

18概率与统计★★☆☆☆

某市

2010

年

4

月

1

日—

4

月

30

61

76

70

56

81

91

92

91

75

81

88

67

101

103

95

91

77

86

81

83

82

82

64

79

86

85

75

71

49

45

(1) 完成频率分布表； (2) 作出频率分布直方图； (3) 根据国家标准，污染指数在

0\sim 50

之间时，空气质量为优. 在

51\sim 100

之间时，为良；在

101\sim 150

之间时，为轻微污染. 在

151\sim 200

之间时，为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.

2010 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

13概率与统计★★☆☆☆

从长度分别为

2

3

4

的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是______.

5

2009 · 安徽 · 文 · 第 13 题 · 填空题

某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A，将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验，两种小麦各种植了

17概率与统计★★☆☆☆

25

亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

品种 A（千克）	品种 B（千克）
$359$	$371$
$367$	$374$
$368$	$383$
$375$	$385$
$388$	$386$
$392$	$391$
$399$	$392$
$400$	$394$
$405$	$395$
$412$	$397$
$414$	$397$
$415$	$400$
$421$	$401$
$423$	$401$
$423$	$403$
$427$	$406$
$430$	$407$
$430$	$410$
$434$	$412$
$443$	$415$
$445$	$416$
$451$	$422$
$454$	$430$

(1) 完成所附的茎叶图； (2) 用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3) 通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论.

\begin{array}{c} \multicolumn{1}{c|}{A} & & \multicolumn{1}{c}{B} \\ \hline & $35$ & \\ & $36$ & \\ & $37$ & \\ & $38$ & \\ & $39$ & \\ & $40$ & \\ & $41$ & \\ & $42$ & \\ & $43$ & \\ & $44$ & \\ & $45$ & \\ \end{array}

2009 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题