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045分概率与统计★★☆☆☆
某农业研究部门在面积相等的 100 块100\text{ 块}稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg\mathrm{kg}）并整理得如下表. 根据表中数据，结论中正确的是（ ）
A.
100 块100\text{ 块}稻田亩产量的中位数小于 1050 kg1050 \mathrm{~kg}
B.
100 块100\text{ 块}稻田中亩产量低于 1100 kg1100 \mathrm{~kg} 的稻田所占比例超过 80%80\%
C.
100 块100\text{ 块}稻田亩产量的极差介于 200 kg200 \mathrm{~kg} 至 300 kg300 \mathrm{~kg} 之间
D.
100 块100\text{ 块}稻田亩产量的平均值介于 900 kg900 \mathrm{~kg} 至 1000 kg1000 \mathrm{~kg} 之间

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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035分概率与统计★★☆☆☆
某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 6060 名学生. 已知该校初中部和高中部分别有 400400 名和 200200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A.
(40045)(20015)\dbinom{400}{45}\dbinom{200}{15} 种
B.
(40020)(20040)\dbinom{400}{20}\dbinom{200}{40} 种
C.
(40030)(20030)\dbinom{400}{30}\dbinom{200}{30} 种
D.
(40040)(20020)\dbinom{400}{40}\dbinom{200}{20} 种

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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065分概率与统计★★☆☆☆
某物理量的测量结果服从正态分布 N(10,σ2)N\left( 10,\sigma^2 \right)，下列结论中不正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
σ\sigma 越小，该物理量一次测量结果落在 (9.9,10.1)\left( 9.9,10.1 \right) 内的概率越大
B.
该物理量一次测量结果大于 1010 的概率为 0.50.5
C.
该物理量一次测量结果小于 9.999.99 与大于 10.0110.01 的概率相等
D.
该物理量一次测量结果落在 (9.9,10.2)\left( 9.9,10.2 \right) 与落在 (10,10.3)\left( 10,10.3 \right) 内的概率相等

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 12001200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 16001600 份的概率为 0.050.05. 志愿者每人每天能完成 5050 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.950.95，则至少需要志愿者（ ）
A.
10 名10\text{ 名}
B.
18 名18\text{ 名}
C.
24 名24\text{ 名}
D.
32 名32\text{ 名}

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
生物实验室有 55 只兔子，其中只有 33 只测量过某项指标. 若从这 55 只兔子中随机取出 33 只，则恰有 22 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23\dfrac23
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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19概率与统计★★☆☆☆
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 yy 的频数分布表.
(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%40\% 的企业比例，产值负增长的企业比例； (2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到 0.010.01）
附：74≈8.602\sqrt{74}\approx 8.602.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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08概率与统计★★☆☆☆
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 22 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+2330=7+23. 在不超过 3030 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3030 的概率是（ ）
A.
112\dfrac1{12}
B.
114\dfrac1{14}
C.
115\dfrac1{15}
D.
118\dfrac1{18}

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
为计算 S=1−12+13−14+⋯+199−1100S=1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{99}-\dfrac1{100}，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）.
A.
i=i+1i=i+1
B.
i=i+2i=i+2
C.
i=i+3i=i+3
D.
i=i+4i=i+4

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17概率与统计★★☆☆☆
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
(1) 求 yy 关于 tt 的回归方程 y^=b^t+a^\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}； (2) 用所求回归方程预测该地区 2015 年（t=6t = 6）的人民币储蓄存款. 附：回归方程 y^=b^t+a^\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a} 中，b^=∑i=1ntiyi−nt‾ y‾∑i=1nti2−nt‾2\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n} t_{i} y_{i} - n \overline{t} \, \overline{y}}{\sum_{i=1}^{n} t_{i}^{2} - n \overline{t}^{2}}，a^=y‾−b^t‾\hat{a} = \overline{y} - \hat{b} \overline{t}.

2015 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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04概率与统计★★☆☆☆
以下茎叶图记录了甲，乙两组各 55 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.
\begin{array}{c} \multicolumn{1}{c}{甲组} & & \multicolumn{1}{c}{乙组} \\ \hline $9$ & 0 & $9$ \\ $\mathit{x}\;2$ & 1 & $5\;\mathit{y}\;8$ \\ $7\;4$ & 2 & $4$ \end{array}
已知甲组数据的中位数为 1515，乙组数据的平均数为 16.816.8，则 xx，yy 的值分别为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由茎叶图，甲组的五个成绩为 99，10+x10+x，1212，2424，2727. 若 x⩽2x\leqslant2，其中位数为 1212，不符合题意；当 x>2x>2 时，排序后中间的数为 10+x10+x. 由中位数为 1515，得 10+x=1510+x=15，x=5x=5. 此时乙组成绩为 99，1515，1818，2424，10+y10+y. 乙组平均数为 16.816.8，所以
9+15+18+24+(10+y)5=16.8\frac{9+15+18+24+(10+y)}{5}=16.8
即 76+y=8476+y=84，从而 y=8y=8. 故选 C. \end{solution}
A.
22，55
B.
55，55
C.
55，88
D.
88，88

2013 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，则输出的 kk 的值是（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 程序开始时 k=1k=1，s=1s=1. 每次先执行
s←s+(k−1)2s\leftarrow s+(k-1)^2
再判断 s>15s>15；若否，则令 k←k+1k\leftarrow k+1 后继续循环. 因此各次判断前的 ss 依次为 11，22，66，1515，3131. 前四次均不满足 s>15s>15，第五次满足，且此时 k=5k=5. 所以输出 k=5k=5，选 C. \end{solution}
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2013 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
若甲，乙，丙三人随机地站成一排，则甲，乙两人相邻而站的概率为______. \begin{answer} 23\frac{2}{3} \end{answer} \begin{solution} 三人的全排列共有 3!=63!=6 种. 把甲、乙看成一个整体时，整体与丙有 2!2! 种排法，甲、乙在整体内还有 2!2! 种次序，所以甲乙相邻的排法有
2!×2!=42!\times2!=4
种. 因此所求概率为
46=23\frac46=\frac23
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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17概率与统计★★☆☆☆
从某居民区随机抽取 10 个10\text{ 个}家庭，获得第 ii 个家庭的月收入 xix_{i} （单位：千元\text{千元}）与月储蓄 yiy_{i} （单位：千元\text{千元}）的数据资料，算得 ∑i=110xi=80\sum_{i=1}^{10} x_{i} = 80，∑i=110yi=20\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 20，∑i=110xiyi=184\sum_{i=1}^{10} x_{i}y_{i} = 184，∑i=110xi2=720\sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2} = 720.
(1) 求家庭的月储蓄 yy 对月收入 xx 的线性回归方程 y=bx+ay = bx + a； (2) 判断变量 xx 与 yy 之间是正相关还是负相关； (3) 若该居民区某家庭月收入为 7 千元7\text{ 千元}，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程 y=bx+ay = bx + a 中， b=∑i=1nxiyi−nx‾ y‾∑i=1nxi2−nx‾2b = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} - n\overline{x}\,\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} - n\overline{x}^{2}}，a=y‾−bx‾a = \overline{y} - b\overline{x}， 其中 x‾\overline{x}，y‾\overline{y} 为样本平均值，线性回归方程也可写为 y^=b^x+a^\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}. \begin{solution} \begin{enumerate} \item 样本平均值为 x‾=8010=8\overline{x}=\frac{80}{10}=8，y‾=2010=2\overline{y}=\frac{20}{10}=2. 代入题给公式，回归系数
b=184−10×8×2720−10×82=2480=310b=\frac{184-10\times8\times2}{720-10\times8^2} =\frac{24}{80}=\frac3{10}
于是
a=y‾−bx‾=2−310×8=−25a=\overline y-b\overline x=2-\frac3{10}\times8=-\frac25
线性回归方程为
y^=310x−25\hat y=\frac3{10}x-\frac25
\item 回归系数 b=310>0b=\frac3{10}>0，所以 xx 与 yy 正相关. \item 当 x=7x=7 时，预测值为
y^=310×7−25=1710=1.7\hat y=\frac3{10}\times7-\frac25=\frac{17}{10}=1.7
故预测该家庭月储蓄为 1.71.7 千元. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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13概率与统计★★☆☆☆
将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为______. \begin{answer} 1132\frac{11}{32} \end{answer}
\begin{solution} 设正面出现次数为 XX，则反面出现次数为 6−X6-X. 条件“正面出现的次数比反面出现的次数多”等价于 X>6−XX>6-X，即 X=4X=4，55，66. 六次抛掷共有 262^6 种等可能结果，满足条件的结果数为 C64+C65+C66=15+6+1=22\mathrm C_6^4+\mathrm C_6^5+\mathrm C_6^6=15+6+1=22，所以所求概率为 2226=1132\frac{22}{2^6}=\frac{11}{32}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
从甲，乙等1010位同学中任选33位去参加某项活动，则所选33位中有甲但没有乙的概率为______.

2011 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 1625\frac{16}{25}，则该队员每次罚球的命中率为______.
\begin{answer} 35\frac{3}{5} \end{answer}
\begin{solution} 按高考中重复试验的通常模型，将两次罚球视为相互独立，设每次罚球命中的概率为 pp，则两次都命中的概率为 p2p^2. “至多命中一次”的对立事件是“两次都命中”，所以 1−p2=16251-p^2=\frac{16}{25}，即 p2=925p^2=\frac{9}{25}. 由于概率满足 0⩽p⩽10\leqslant p\leqslant1，故 p=35p=\frac35.
若只按题面“命中率相同”而不补充独立性，则只能得到两次都命中的概率为 925\frac{9}{25}. 设两次命中事件分别为 X1X_1，X2X_2，则 P(X1∩X2∁)=P(X1∁∩X2)=p−925P(X_1\cap X_2^{\complement})=P(X_1^{\complement}\cap X_2)=p-\frac{9}{25}，且 P(X1∁∩X2∁)=1−2p+925P(X_1^{\complement}\cap X_2^{\complement})=1-2p+\frac{9}{25}，非负性只给出 925⩽p⩽1725\frac{9}{25}\leqslant p\leqslant\frac{17}{25}，不能唯一确定 pp. 因此本题答案 35\frac35 采用上述独立重复试验模型. \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
加工某一零件需经过三道工序，设第一，二，三道工序的次品率分别为 170\frac{1}{70}，169\frac{1}{69}，168\frac{1}{68}，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为______.

2010 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从编号为 11，22，…\ldots，1010 的 1010 个大小相同的球中任取 44 个，则所取 44 个球的最大号码是 66 的概率为（ ）
A.
184\frac{1}{84}
B.
121\frac{1}{21}
C.
25\frac{2}{5}
D.
35\frac{3}{5}

2008 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
从 55 张 100 元100\text{ 元}，33 张 200 元200\text{ 元}，22 张 300 元300\text{ 元}的奥运预赛门票中任取 33 张，则所取 33 张中至少有 22 张价格相同的概率为（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
79120\frac{79}{120}
C.
34\frac{3}{4}
D.
2324\frac{23}{24}

2007 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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17概率与统计★★☆☆☆
设甲，乙两人每次射击命中目标的概率分别为 34\frac{3}{4} 和 45\frac{4}{5}，且各次射击相互独立.
(1) 若甲，乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； (2) 若甲，乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率.

2007 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 1818，1919，2020 层可以停靠. 若该电梯在底层载有 55 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 13\frac{1}{3}，用 ξ\xi 表示这 55 位乘客在第 2020 层下电梯的人数，求：
(1) 随机变量 ξ\xi 的分布列； (2) 随机变量 ξ\xi 的期望.

2006 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
甲，乙，丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机. 设该机打进的电话是打给甲，乙，丙的概率依次为 16\frac{1}{6}，13\frac{1}{3}，12\frac{1}{2}. 若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立. 求：
(1) 这三个电话是打给同一个人的概率； (2) 这三个电话中恰有两个是打给甲的概率.

2006 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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15概率与统计★★☆☆☆
若 1010 把钥匙中只有 22 把能打开某锁，则从中任取 22 把能将该锁打开的概率为______.

2005 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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18概率与统计★★☆☆☆
加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为 910\frac{9}{10}，89\frac{8}{9}，78\frac{7}{8}，且各道工序互不影响.
(1) 求该种零件的合格率； (2) 从该种零件中任取 33 件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设一件零件合格的事件为 AA. 由于三道工序相互独立，该零件合格必须三道工序都合格，所以 P(A)=910×89×78=710=0.7P(A)=\frac9{10}\times\frac89\times\frac78=\frac7{10}=0.7. \item 任取的 33 件零件可看作独立重复试验，每件合格的概率为 p=0.7p=0.7，不合格的概率为 1−p=0.31-p=0.3. 恰好取到一件合格品的概率为 C31(0.7)(0.3)2=0.189\mathrm C_3^1(0.7)(0.3)^2=0.189. 至少取到一件合格品的概率用对立事件计算，为 1−(0.3)3=0.9731-(0.3)^3=0.973. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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11概率与统计★★☆☆☆
已知盒中装有 33 只螺口与 77 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 33 次才取得卡口灯泡的概率为（ ）
A.
2140\frac{21}{40}
B.
1740\frac{17}{40}
C.
310\frac{3}{10}
D.
7120\frac{7}{120}

2004 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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