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04概率与统计★★☆☆☆
某独唱比赛的决赛阶段共有甲，乙，丙，丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定. 则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A.
16\dfrac16
B.
14\dfrac14
C.
13\dfrac13
D.
12\dfrac12

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xix_i，yiy_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010）. 试验结果如下：
i12345678910
yiy_i536527543530560533522550576536
zi=xi−yiz_i=x_i-y_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010），记 z1z_1，z2z_2，⋯\cdots，z10z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar z，样本方差为 s2s^2.
(1) 求 zˉ\bar z，s2s^2； (2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar z\ge 2\sqrt{\frac{s^2}{10}}，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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07概率与统计★★☆☆☆
设 OO 为平面直角坐标系原点，在区域 {(x,y)∣1≤x2+y2≤4}\{(x,y)\mid1\le x^2+y^2\le4\} 内随机取一点，记该点为 AA，则直线 OAOA 的倾斜角不大于 π4\frac\pi4 的概率为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
18\frac18
B.
16\frac16
C.
14\frac14
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
某学校举办作文比赛，共设 66 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲，乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
56\frac56
B.
23\frac23
C.
12\frac12
D.
13\frac13

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 1010 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xix_i，yiy_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010）. 试验结果如下：
试验序号 ii12345678910
伸缩率 yiy_i536527543530560533522550576536
记 zi=xi−yiz_i=x_i-y_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010），记 z1z_1，z2z_2，⋯\cdots，z10z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar z，样本方差为 s2s^2.
(1) 求 zˉ\bar z，s2s^2； (2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar z\ge2\sqrt{\frac{s^2}{10}}，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由表中数据得 z1z_1，z2z_2，…\ldots，z10z_{10} 依次为 99，66，88，−8-8，1515，1111，1919，1818，2020，1212. 因此 zˉ=9+6+8−8+15+11+19+18+20+1210=11\bar z=\dfrac{9+6+8-8+15+11+19+18+20+12}{10}=11，且
s2=110[(−2)2+(−5)2+(−3)2+(−19)2+42+02+82+72+92+12]=61s^2=\frac{1}{10}\bigl[(-2)^2+(-5)^2+(-3)^2+(-19)^2+4^2+0^2+8^2+7^2+9^2+1^2\bigr]=61
\item 由 zˉ=11\bar z=11，s2=61s^2=61，得 2s210=261102\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}=2\sqrt{\dfrac{61}{10}}. 因为 112=121>1225=(26110)211^2=121>\dfrac{122}{5}=\left(2\sqrt{\dfrac{61}{10}}\right)^2，所以 zˉ≥2s210\bar z\ge2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}. 故认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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04概率与统计★★☆☆☆
分别统计了甲，乙两位同学 1616 周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
甲茎乙
88，55，33，0066.33
77，55，33，2277.464\quad6
66，44，22，1188.11，22，22，55，66，66，66，66
424\quad299.00，22，33，88
1010.11
则下列结论中错误的是（ ）
A.
甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.47.4
B.
乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 88
C.
甲同学周课外体育运动时长大于 88 的概率的估计值大于 0.40.4
D.
乙同学周课外体育运动时长大于 88 的概率的估计值大于 0.60.6

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
在区间 (0,1)(0,1) 与 (1,2)(1,2) 中各随机取 11 个数，则两数之和大于 74\frac{7}{4} 的概率为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
79\frac{7}{9}
B.
2332\frac{23}{32}
C.
932\frac{9}{32}
D.
29\frac{2}{9}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xx 和 yy，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xx，yy，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y−x(s12+s22)10≥2\dfrac{y-x}{\sqrt{\frac{\left( s_1^2+s_2^2 \right)}{10}}}\ge 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xˉ\bar{x} 和 yˉ\bar{y}，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xˉ\bar{x}，yˉ\bar{y}，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 yˉ−xˉ≥2s12+s2210\bar{y}-\bar{x}\ge2\sqrt{\dfrac{s_1^2+s_2^2}{10}}，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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04概率与统计★★☆☆☆
在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 12001200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压. 为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作. 已知该超市某日积压 500500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 16001600 份的概率为 0.050.05. 志愿者每人每天能完成 5050 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.950.95，则至少需要志愿者（ ）
A.
10 名10\text{ 名}
B.
18 名18\text{ 名}
C.
24 名24\text{ 名}
D.
32 名32\text{ 名}

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
生物实验室有 55 只兔子，其中只有 33 只测量过某项指标. 若从这 55 只兔子中随机取出 33 只，则恰有 22 只测量过该指标的概率为（ ）
A.
23\dfrac23
B.
35\dfrac35
C.
25\dfrac25
D.
15\dfrac15

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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19概率与统计★★☆☆☆
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 yy 的频数分布表.
(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%40\% 的企业比例，产值负增长的企业比例； (2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到 0.010.01）
附：74≈8.602\sqrt{74}\approx 8.602.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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08概率与统计★★☆☆☆
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于 22 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+2330=7+23. 在不超过 3030 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3030 的概率是（ ）
A.
112\dfrac1{12}
B.
114\dfrac1{14}
C.
115\dfrac1{15}
D.
118\dfrac1{18}

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
为计算 S=1−12+13−14+⋯+199−1100S=1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{99}-\dfrac1{100}，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）.
A.
i=i+1i=i+1
B.
i=i+2i=i+2
C.
i=i+3i=i+3
D.
i=i+4i=i+4

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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19概率与统计★★☆☆☆
随机抽取一个年份，对西安市该年 44 月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1) 在 44 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2) 西安市某学校拟从 44 月份的一个晴天开始举行连续 22 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

2015 · 陕西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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06概率与统计★★☆☆☆
从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
25\frac{2}{5}
C.
35\frac{3}{5}
D.
45\frac{4}{5}

2014 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
设样本数据 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，x10x_{10} 的均值和方差分别为 1 和 4，若 yi=xi+ay_{i} = x_{i} + a（aa 为非零常数，i=1i = 1，22，⋯\cdots，1010），则 y1y_{1}，y2y_{2}，⋯\cdots，y10y_{10} 的均值和方差分别为（ ）
A.
1+a,41 + a, 4
B.
1+a1 + a，4+a4 + a
C.
1,41, 4
D.
11，4+a4 + a

2014 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 任取 22 个点共有 C52=10\mathrm C_5^2=10 种等可能结果. 正方形的四条边对应的 44 对顶点距离等于边长，两条对角线对应的 22 对顶点距离大于边长；中心与任一顶点的距离为边长的 22\frac{\sqrt{2}}{2}，不符合条件. 因此符合条件的有 4+2=64+2=6 种，所求概率为 P=610=35P=\frac{6}{10}=\frac35. 因此选 C. \end{solution}
A.
15\frac{1}{5}
B.
25\frac{2}{5}
C.
35\frac{3}{5}
D.
45\frac{4}{5}

2014 · 陕西 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，x10x_{10}，其均值和方差分别为 x‾\overline{x} 和 s2s^{2}，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 下月工资记为 xi′=xi+100x_i'=x_i+100. 其均值为
x′‾=110∑i=110(xi+100)=x‾+100\overline{x'}=\frac1{10}\sum_{i=1}^{10}(x_i+100)=\overline{x}+100
又因为 xi′−x′‾=xi−x‾x_i'-\overline{x'}=x_i-\overline{x}，所以方差为
s′2=110∑i=110(xi′−x′‾)2=110∑i=110(xi−x‾)2=s2s'^2=\frac1{10}\sum_{i=1}^{10}(x_i'-\overline{x'})^2 =\frac1{10}\sum_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})^2=s^2
因此选 D. \end{solution}
A.
x‾\overline{x}，s2+1002s^2 + 100^2
B.
x‾+100\overline{x} + 100，s2+1002s^2 + 100^2
C.
x‾\overline{x}，s2s^2
D.
x‾+100\overline{x} + 100，s2s^2

2014 · 陕西 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
某单位有 840840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 4242 人做问卷调查，将 840840 人按 11，22，⋯\cdots，840840 随机编号，则抽取的 4242 人中，编号落入区间 [481,720][481,720] 的人数为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 系统抽样的间隔为 840÷42=20840\div42=20. 设随机确定的第一个样本编号为 rr，其中 1⩽r⩽201\leqslant r\leqslant20，则每个样本组抽取的编号为 r+20(k−1)r+20(k-1)，其中 k=1k=1，22，…\ldots，4242. 区间 [481,720][481,720] 恰好由 [481,500][481,500]，[501,520][501,520]，…\ldots，[701,720][701,720] 这 1212 个连续的长度为 2020 的编号组组成，每组恰抽取 1 人，所以人数为 1212，故选 B. \end{solution}
A.
1111
B.
1212
C.
1313
D.
1414

2013 · 陕西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
如图，在矩形区域 ABCDABCD 的 AA，CC 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADEADE 和扇形区域 CBFCBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）. 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由图可知矩形的长、宽分别为 22，11，所以面积为 22. 两个信号覆盖区域均为半径 11 的四分之一圆，且除边界外不重叠，覆盖总面积为 2×π4=π22\times\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}. 因此无信号区域的面积为 2−π22-\dfrac{\pi}{2}，所求概率为 2−π22=1−π4\dfrac{2-\frac{\pi}{2}}{2}=1-\dfrac{\pi}{4}，故选 A. \end{solution}
A.
1−π41-\dfrac{\pi}{4}
B.
π2−1\dfrac{\pi}{2}-1
C.
2−π22-\dfrac{\pi}{2}
D.
π4\dfrac{\pi}{4}

2013 · 陕西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
设 (x1,y1)(x_{1}, y_{1})，(x2,y2)(x_{2}, y_{2})，⋯\cdots，(xn,yn)(x_{n}, y_{n}) 是变量 xx 和 yy 的 nn 个样本，直线 ll 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）
A.
xx 和 yy 的相关系数为直线 ll 的斜率
B.
xx 和 yy 的相关系数在 00 到 11 之间
C.
当 nn 为偶数时，分布在 ll 两侧的样本点的个数一定相同
D.
直线 ll 过点 (xˉ,yˉ)(\bar{x}, \bar{y})

2011 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
设 (x1,y1)(x_{1}, y_{1})，(x2,y2)(x_{2}, y_{2})，⋯\cdots，(xn,yn)(x_{n}, y_{n}) 是变量 xx 和 yy 的 nn 个样本点，直线 ll 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）
A.
直线 ll 过点 (x‾,y‾)(\overline{x}, \overline{y})
B.
xx 和 yy 的相关系数为直线 ll 的斜率
C.
xx 和 yy 的相关系数在 00 到 11 之间
D.
当 nn 为偶数时，分布在 ll 两侧的样本点的个数一定相同

2011 · 陕西 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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13概率与统计★★☆☆☆
从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y)M(x, y)，则点 MM 取自阴影部分的概率为______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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04概率与统计★★☆☆☆
如图，样本 AA 和 BB 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 x‾A\overline{x}_{A} 和 x‾B\overline{x}_{B}，样本标准差分别为 sAs_{A} 和 sBs_{B}，则（ ）
A.
x‾A>x‾B\overline{x}_A > \overline{x}_B，sA>sBs_A > s_B
B.
x‾A<x‾B\overline{x}_A < \overline{x}_B，sA>sBs_A > s_B
C.
x‾A>x‾B\overline{x}_A > \overline{x}_B，sA<sBs_A < s_B
D.
x‾A<x‾B\overline{x}_A < \overline{x}_B，sA<sBs_A < s_B

2010 · 陕西 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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