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17概率与统计★★☆☆☆
2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子 4×1004\times100 米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子 4×1004\times100 米混合泳接力项目冠军成绩（单位：秒），数据按照升序排列.
(1) 求这组数据的极差与中位数； (2) 从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据大于 211211 的概率； (3) 若比赛成绩 yy 关于年份 xx 的回归方程为 y=−0.311x+b^y=-0.311x+\hat b，年份 xx 的平均数为 20062006，预测 20282028 年男子 4×1004\times100 米混合泳接力项目冠军队的成绩（精确到 0.010.01 秒）.

2025 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xix_i，yiy_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010）. 试验结果如下：
i12345678910
yiy_i536527543530560533522550576536
zi=xi−yiz_i=x_i-y_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010），记 z1z_1，z2z_2，⋯\cdots，z10z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar z，样本方差为 s2s^2.
(1) 求 zˉ\bar z，s2s^2； (2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar z\ge 2\sqrt{\frac{s^2}{10}}，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 1010 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xix_i，yiy_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010）. 试验结果如下：
试验序号 ii12345678910
伸缩率 yiy_i536527543530560533522550576536
记 zi=xi−yiz_i=x_i-y_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010），记 z1z_1，z2z_2，⋯\cdots，z10z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar z，样本方差为 s2s^2.
(1) 求 zˉ\bar z，s2s^2； (2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar z\ge2\sqrt{\frac{s^2}{10}}，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由表中数据得 z1z_1，z2z_2，…\ldots，z10z_{10} 依次为 99，66，88，−8-8，1515，1111，1919，1818，2020，1212. 因此 zˉ=9+6+8−8+15+11+19+18+20+1210=11\bar z=\dfrac{9+6+8-8+15+11+19+18+20+12}{10}=11，且
s2=110[(−2)2+(−5)2+(−3)2+(−19)2+42+02+82+72+92+12]=61s^2=\frac{1}{10}\bigl[(-2)^2+(-5)^2+(-3)^2+(-19)^2+4^2+0^2+8^2+7^2+9^2+1^2\bigr]=61
\item 由 zˉ=11\bar z=11，s2=61s^2=61，得 2s210=261102\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}=2\sqrt{\dfrac{61}{10}}. 因为 112=121>1225=(26110)211^2=121>\dfrac{122}{5}=\left(2\sqrt{\dfrac{61}{10}}\right)^2，所以 zˉ≥2s210\bar z\ge2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}. 故认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两城之间的长途客车均由 AA 和 BB 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲，乙两城之间的 500500 个班次，得到下面列联表：
BB21030
(1) 根据上表，分别估计这两家公司甲，乙两城之间的长途客车准点的概率； (2) 能否有 90%90\% 的把握认为甲，乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left(ad-bc\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两台机床生产同种产品，产品质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
乙机床12080200
合计270130400
(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有 99%99\% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xx 和 yy，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xx，yy，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y−x(s12+s22)10≥2\dfrac{y-x}{\sqrt{\frac{\left( s_1^2+s_2^2 \right)}{10}}}\ge 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xˉ\bar{x} 和 yˉ\bar{y}，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xˉ\bar{x}，yˉ\bar{y}，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 yˉ−xˉ≥2s12+s2210\bar{y}-\bar{x}\ge2\sqrt{\dfrac{s_1^2+s_2^2}{10}}，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费 9090 元，5050 元，2020 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 5050 元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 2525 元/件，乙分厂加工成本费为 2020 元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为 AA 级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的 100100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★☆☆☆
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 yy 的频数分布表.
(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%40\% 的企业比例，产值负增长的企业比例； (2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到 0.010.01）
附：74≈8.602\sqrt{74}\approx 8.602.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月 AA，BB 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 10001000 名学生中随机抽取了 100100 人，发现样本中 AA，BB 两种支付方式都不使用的有 55 人，样本中仅使用 AA 和仅使用 BB 的学生的支付金额分布情况如下：
(1) 估计该校学生中上个月 AA，BB 两种支付方式都使用的人数； (2) 从样本仅使用 BB 的学生中随机抽取 11 人，求该学生上个月支付金额大于 2 0002\,000 元的概率； (3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用 BB 的学生中随机抽查 11 人，发现他本月的支付金额大于 2 0002\,000 元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用 BB 的学生中本月支付金额大于 2 0002\,000 元的人数有变化？说明理由.

2019 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类
好评率0.40.20.150.250.20.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1) 从电影公司收集的电影中随机选取 11 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2) 随机选取 11 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3) 电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化. 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.10.1，哪类电影的好评率减少 0.10.1，使得获得好评的电影部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

2018 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16概率与统计★★☆☆☆
某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1A_1，A2A_2，A3A_3 和 3 个欧洲国家 B1B_1，B2B_2，B3B_3 中选择 2 个国家去旅游.
(1) 若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1A_1 但不包括 B1B_1 的概率.

2017 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
某险种的基本保费为 aa（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数0011223344≥5\geq 5
随机调查了该险种的 200200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
上年度出险次数0011223344≥5\geq 5
(1) 记 AA 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)P(A) 的估计值； (2) 记 BB 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%160\%”，求 P(B)P(B) 的估计值； (3) 求续保人本年度的平均保费估计值.

2016 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16概率与统计★★☆☆☆
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动. 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为 xx，yy. 奖励规则如下：
① 若 xy≤3xy\leq 3，则奖励玩具一个； ② 若 xy≥8xy\geq 8，则奖励水杯一个； ③ 其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀. 小亮准备参加此项活动.
(1) 求小亮获得玩具的概率； (2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
=0pt

2016 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15概率与统计★★☆☆☆
设甲，乙，丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27， 9， 18. 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛.
(1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2) 将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}. 现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛.
(i) 用所给编号列出所有可能的结果； (ii) 设 AA 为事件：“编号为 A5A_{5} 和 A6A_{6} 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 AA 发生的概率.

2015 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标. 根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
2[5,6)[5,6)8
3[6,7)[6,7)7
4[7,8][7,8]3
(1) 现从融合指数在 [4,5)[4, 5) 和 [7,8][7, 8] 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 [7,8][7, 8] 内的概率； (2) 根据分组统计表法求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.

2015 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16概率与统计★★☆☆☆
某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
(1) 从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，3 名女同学 B1B_{1}，B2B_{2}，B3B_{3}. 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1A_{1} 被选中且 B1B_{1} 未被选中的概率.

2015 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16概率与统计★★☆☆☆
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 22 个红球 A1A_{1}，A2A_{2} 和 11 个白球 BB 的甲箱与装有 22 个红球 a1a_{1}，a2a_{2} 和 22 个白球 b1b_{1}，b2b_{2} 的乙箱中，各随机摸出 11 个球. 若摸出的 22 个球都是红球则中奖，否则不中奖.
(1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2) 有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.

2015 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度\text{度}），[160,180)[160, 180)，[180,200)[180, 200)，[200,220)[200, 220)，[220,240)[220, 240)，[240,260)[240, 260)，[260,280)[260, 280)，[280,300)[280, 300) 分组的频率分布直方图如图.
(1) 求直方图中 xx 的值； (2) 求月平均用电量的众数和中位数； (3) 在月平均用电量为 [220,240)[220, 240)，[240,260)[240, 260)，[260,280)[260, 280)，[280,300)[280, 300) 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 [220,240)[220, 240) 的用户中应抽取多少户？

2015 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
(1) 求 yy 关于 tt 的回归方程 y^=b^t+a^\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}； (2) 用所求回归方程预测该地区 2015 年（t=6t = 6）的人民币储蓄存款. 附：回归方程 y^=b^t+a^\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a} 中，b^=∑i=1ntiyi−nt‾ y‾∑i=1nti2−nt‾2\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n} t_{i} y_{i} - n \overline{t} \, \overline{y}}{\sum_{i=1}^{n} t_{i}^{2} - n \overline{t}^{2}}，a^=y‾−b^t‾\hat{a} = \overline{y} - \hat{b} \overline{t}.

2015 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★☆☆☆
随机抽取一个年份，对西安市该年 44 月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1) 在 44 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2) 西安市某学校拟从 44 月份的一个晴天开始举行连续 22 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

2015 · 陕西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★☆☆☆
某地区 20072007 年至 20132013 年农村居民家庭人均纯收入 yy（单位：千元）的数据如下表：
(1) 求 yy 关于 tt 的线性回归方程； (2) 利用（1）中的回归方程，分析 20072007 年至 20132013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 20152015 年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^=∑i=1n(ti−tˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(ti−tˉ)2\hat b=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_i-\bar t\right)\left(y_i-\bar y\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_i-\bar t\right)^2}，a^=yˉ−b^tˉ\hat a=\bar y-\hat b\bar t.

2014 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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15概率与统计★★☆☆☆
某校夏令营有 33 名男同学 AA，BB，CC 和 33 名女同学 XX，YY，ZZ，其年级情况如下表.
现从这 66 名同学中随机选出 22 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.
(1) 用表中字母列举出所有可能的结果； (2) 设 MM 为事件“选出的 22 人来自不同年级且恰有 11 名男同学和 11 名女同学”，求事件 MM 发生的概率.

2014 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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