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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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06数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，前 nn 项和为 SnS_n，则 “d>0d>0” 是 “S4+S6>2S5S_4+S_6>2S_5” 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2017 · 浙江 · 第 6 题 · 选择题

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13数列★★☆☆☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，若 S2=4S_2=4，an+1=2Sn+1a_{n+1}=2S_n+1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}，S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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03数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，公差 dd 不为零，前 nn 项和是 SnS_n，若 a3a_3，a4a_4，a8a_8 成等比数列，则（ ）
A.
a1d>0a_{1}d > 0，dS4>0dS_{4} > 0
B.
a1d<0a_{1}d < 0，dS4<0dS_{4} < 0
C.
a1d>0a_{1}d > 0，dS4<0dS_{4} < 0
D.
a1d<0a_{1}d < 0，dS4>0dS_{4} > 0

2015 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，公差 dd 不为零. 若 a2a_2，a3a_3，a7a_7 成等比数列，且 2a1+a2=12a_1+a_2=1，则 a1=a_1=______，d=d=______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
若某程序框图如图所示，当输入 5050 时，则该程序运行后输出的结果是______.

2014 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于______.

2013 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
设公比为 qq（q>0q>0）的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若 S2=3a2+2S_{2} = 3a_{2} + 2，S4=3a4+2S_{4} = 3a_{4} + 2，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 kk 的值是______.

2011 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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02数列★★☆☆☆
某程序框图如图所示，若输出的 S=57S = 57，则判断框内为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 程序开始时 S=1S=1，k=1k=1. 每循环一次先令 kk 增加 11，再令 S=2S+kS=2S+k，因此各次循环后的状态依次为 (k,S)=(2,4)(k,S)=(2,4)， (3,11)\ (3,11)， (4,26)\ (4,26)， (5,57)\ (5,57). 当 k=5k=5 时已经得到输出值 S=57S=57，所以判断框在此时应为“是”，即判断条件应为 k>4k>4. 故选 A. \end{solution}
A.
k>4k > 4
B.
k>5k > 5
C.
k>6k > 6
D.
k>7k > 7

2010 · 浙江 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，8a2+a5=08a_{2} + a_{5} = 0，则 S5S2=\frac{S_{5}}{S_{2}} =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设等比数列的公比为 qq. 由于所求比值有意义，且等比数列的相邻项比值有定义，a2≠0a_2\ne0，于是
a5=a2q3a_5=a_2q^3
由题设
8a2+a5=a2(8+q3)=08a_2+a_5=a_2(8+q^3)=0
得 q=−2q=-2. 因此
S5S2=a11−q51−qa11−q21−q=1−(−2)51−(−2)2=33−3=−11\frac{S_5}{S_2} =\frac{a_1\dfrac{1-q^5}{1-q}}{a_1\dfrac{1-q^2}{1-q}} =\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)^2} =\frac{33}{-3}=-11
故选 D. \end{solution}
A.
11
B.
5
C.
−8-8
D.
−11-11

2010 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
某程序框图如图所示，若输出的 S=57S = 57，则判断框内为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 初始时 S=1S=1，k=1k=1. 每循环一次先令 k=k+1k=k+1，再令 S=2S+kS=2S+k，所以各次循环后的数值依次为 (S,k)=(4,2)(S,k)=(4,2)，(11,3)(11,3)，(26,4)(26,4)，(57,5)(57,5). 当输出 S=57S=57 时，判断框必须在 k=5k=5 时回答“是”，因此判断条件可为 k>4k>4，故选 A. 若条件为 k>5k>5、k>6k>6 或 k>7k>7，则在 k=5k=5 时不能输出 5757. \end{solution}
A.
k>4k > 4
B.
k>5k > 5
C.
k>6k > 6
D.
k>7k > 7

2010 · 浙江 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
设 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，8a2+a5=08a_2 + a_5 = 0，则 S5S2=\frac{S_5}{S_2} =（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设等比数列的公比为 qq. 按等比数列的定义，q≠0q\ne0. 因为所求比值有意义，所以 S2≠0S_2\ne0. 若 a2=0a_2=0，则 a1=a2q=0a_1=\frac{a_2}{q}=0，从而 S2=0S_2=0，矛盾，故 a2≠0a_2\ne0. 又 a5=a2q3a_5=a_2q^3，由题设得
8a2+a5=a2(8+q3)=08a_2+a_5=a_2(8+q^3)=0
所以 q3=−8q^3=-8，即 q=−2q=-2. 因而
S5S2=a1(1−q5)(1−q)a1(1−q2)(1−q)=1−q51−q2=1−(−2)51−(−2)2=33−3=−11\frac{S_5}{S_2} =\frac{a_1\frac{(1-q^5)}{(1-q)}}{a_1\frac{(1-q^2)}{(1-q)}} =\frac{1-q^5}{1-q^2} =\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)^2} =\frac{33}{-3}=-11
故选 A. \end{solution}
A.
−11-11
B.
−8-8
C.
55
D.
1111

2010 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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14数列★★☆☆☆
在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. 那么，位于表中的第 nn 行第 n+1n + 1 列的数是______.
\begin{answer} n2+nn^2+n \end{answer}
\begin{solution} 记表中第 ii 行第 jj 列的数为 aija_{ij}. 由第一列可知 ai1=ia_{i1}=i，由第二列可知 ai2=2ia_{i2}=2i. 由于第 ii 行成等差数列，该行公差为
ai2−ai1=2i−i=ia_{i2}-a_{i1}=2i-i=i
因此
aij=ai1+(j−1)i=i+(j−1)i=ija_{ij}=a_{i1}+(j-1)i=i+(j-1)i=ij
所以第 nn 行第 n+1n+1 列的数为
an,n+1=n(n+1)=n2+na_{n,n+1}=n(n+1)=n^2+n
\end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q=12q=\frac{1}{2}，前 nn 项和为 SnS_n，则 S4a4=‾\frac{S_4}{a_4}=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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18数列★★☆☆☆
已知数列 {xn}\{x_{n}\} 的首项 x1=3x_{1} = 3，通项 xn=2np+nqx_{n} = 2^{n}p + nq（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，pp，qq 为常数），且 x1x_{1}，x4x_{4}，x5x_{5} 成等差数列. 求：
(1) pp，qq 的值； (2) 数列 {xn}\{x_{n}\} 前 nn 项和 SnS_{n} 的公式.

2008 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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11数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 若 S5=10S_{5} = 10，S10=−5S_{10} = -5，则公差为______（用数字作答）.
\begin{answer} −1-1 \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列的首项为 a1a_1，公差为 dd. 由前 nn 项和公式，得 S5=5a1+10d=10S_5=5a_1+10d=10，S10=10a1+45d=−5S_{10}=10a_1+45d=-5. 将第一式乘以 22，得 10a1+20d=2010a_1+20d=20. 与第二式相减，得到 25d=−2525d=-25，所以 d=−1d=-1. \end{solution}

2006 · 浙江 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
若 SnS_{n} 是公差不为 00 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，且 S1S_{1}，S2S_{2}，S4S_{4} 成等比数列.
(1) 求数列 S1S_{1}，S2S_{2}，S4S_{4} 的公比； (2) 若 S2=4S_{2} = 4，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2006 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知实数 aa，bb，cc 成等差数列，a+1a + 1，b+1b + 1，c+4c + 4 成等比数列. 且 a+b+c=15a + b + c = 15，求 aa，bb，cc.
\begin{solution} 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b. 又 a+b+c=15a+b+c=15，从而 3b=153b=15，即 b=5b=5.
设等差数列的公差为 dd，则 a=5−da=5-d，c=5+dc=5+d. 由 a+1a+1，b+1b+1，c+4c+4 成等比数列，得 (b+1)2=(a+1)(c+4)(b+1)^2=(a+1)(c+4)，即 36=(6−d)(9+d)=54−3d−d236=(6-d)(9+d)=54-3d-d^2. 所以 d2+3d−18=(d−3)(d+6)=0d^2+3d-18=(d-3)(d+6)=0，故 d=3d=3 或 d=−6d=-6.
当 d=3d=3 时，(a,b,c)=(2,5,8)(a,b,c)=(2,5,8)；当 d=−6d=-6 时，(a,b,c)=(11,5,−1)(a,b,c)=(11,5,-1). 因此 (a,b,c)=(2,5,8)(a,b,c)=(2,5,8) 或 (a,b,c)=(11,5,−1)(a,b,c)=(11,5,-1). \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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03数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 2，若 a1a_1，a3a_3，a4a_4 成等比数列，则 a2=a_2=（ ）
A.
−4-4
B.
−6-6
C.
−8-8
D.
−10-10

2004 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 22，若 a1a_1，a3a_3，a4a_4 成等比数列，则 a2=a_2 =（ ）
A.
−4-4
B.
−6-6
C.
−8-8
D.
−10-10

2004 · 浙江 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，Sn=13(an−1)S_n = \frac{1}{3}(a_n - 1)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 求 a1a_1，a2a_2； (2) 求证数列 {an}\{a_n\} 是等比数列.

2004 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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