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1715分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 是公差不为 00 的等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 a3=S5a_3=S_5，a2a4=S4a_2a_4=S_4.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式 ana_n； (2) 求使 Sn>anS_n>a_n 成立的 nn 的最小值.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，nan+1=2(n+1)anna_{n+1}=2(n+1)a_n，设 bn=annb_n=\dfrac{a_n}{n}.
(1) 求 b1b_1，b2b_2，b3b_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=−7a_1=-7，S3=−15S_3=-15.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 SnS_n，并求 SnS_n 的最小值.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=−7a_1=-7，S3=−15S_3=-15.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 SnS_n，并求 SnS_n 的最小值.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a5=4a3a_5=4a_3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm=63S_m=63，求 mm.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a5=4a3a_5=4a_3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm=63S_m=63，求 mm.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，且 a1=ln⁡2a_1=\ln2，a2+a3=5ln⁡2a_2+a_3=5\ln2.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 ea1+ea2+⋯+ean\mathrm{e}^{a_1}+\mathrm{e}^{a_2}+\cdots+\mathrm{e}^{a_n}.

2018 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 和等比数列 {bn}\{b_n\} 满足 a1=b1=1a_1=b_1=1，a2+a4=10a_2+a_4=10，b2b4=a5b_2b_4=a_5.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求和： b1+b3+b5+⋯+b2n−1b_1+b_3+b_5+\cdots+b_{2n-1}.

2017 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列，且 b2=3b_2=3，b3=9b_3=9，a1=b1a_1=b_1，a14=b4a_{14}=b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 cn=an+bnc_n=a_n+b_n，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和.

2016 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1+a2=10a_1 + a_2 = 10，a4−a3=2a_4 - a_3 = 2.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设等比数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b2=a3b_{2}=a_{3}，b3=a7b_{3}=a_{7}，问： b6b_{6} 与数列 {an}\{a_{n}\} 的第几项相等？

2015 · 北京 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a2=4a_{2} = 4，a4+a7=15a_{4} + a_{7} = 15.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=2an−2+nb_{n} = 2^{a_{n} - 2} + n，求 b1+b2+b3+⋯+b10b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{10} 的值.

2015 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a3=2a_3 = 2，前 3 项和 S3=92S_3 = \frac{9}{2}.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设等比数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=a1b_1 = a_1，b4=a15b_4 = a_{15}，求 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，满足 a1=3a_{1}=3，a4=12a_{4}=12，数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=4b_{1}=4，b4=20b_{4}=20，且 {bn−an}\{b_{n}-a_{n}\} 是等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和.

2014 · 北京 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2=3a_2 = 3，a5=81a_5 = 81.
(1) 求 ana_n； (2) 设 bn=log⁡3anb_n = \log_{3} a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等比数列的公比为 qq. 由 a5=a2q3a_5=a_2q^3，得 81=3q381=3q^3，所以 q3=27q^3=27，从而 q=3q=3. 又 a1=a2q=1a_1=\frac{a_2}{q}=1，故 an=a1qn−1=3n−1a_n=a_1q^{n-1}=3^{n-1}. \item 由 an=3n−1>0a_n=3^{n-1}>0，得 bn=log⁡3an=n−1b_n=\log_3a_n=n-1. 因此 Sn=∑k=1nbk=∑k=1n(k−1)=n(n−1)2S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，SnS_{n} 表示 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和.
(1) 求 ana_{n} 及 SnS_{n}； (2) 设 {bn}\{b_{n}\} 是首项为 2 的等比数列，公比 qq 满足 q2−(a4+1)q+S4=0q^{2} - (a_{4} + 1)q + S_{4} = 0，求 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式及其前 nn 项和 TnT_{n}.

2014 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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27数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 Sn=−n2+nS_n = -n^2 + n，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=2anb_n = 2^{a_n}，求 lim⁡n→∞(b1+b2+⋯+bn)\lim\limits_{n \to \infty} (b_1 + b_2 + \cdots + b_n).

2013 · 上海 · 春季 · 第 27 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d=1d = 1，前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若 11，a1a_{1}，a3a_{3} 成等比数列，求 a1a_{1}； (2) 若 S5>a1a9S_{5} > a_{1}a_{9}，求 a1a_{1} 的取值范围.

2013 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=1a_{1} = 1，an+1=3ana_{n+1} = 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式及前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 已知 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，TnT_{n} 为其前 nn 项和，且 b1=a2b_{1}=a_{2}，b3=a1+a2+a3b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}，求 T20T_{20}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，每增加一个下标就乘以 33，且 a1=1a_1=1，所以
an=a1⋅3n−1=3n−1a_n=a_1\cdot3^{n-1}=3^{n-1}
这是首项为 11、公比为 33 的等比数列，故前 nn 项和为
Sn=a1(3n−1)3−1=3n−12S_n=\frac{a_1(3^n-1)}{3-1}=\frac{3^n-1}{2}
\item 由第（1）问 a2=3a_2=3，a1+a2+a3=1+3+9=13a_1+a_2+a_3=1+3+9=13. 因此 b1=3b_1=3，b3=13b_3=13. 设等差数列 {bn}\{b_n\} 的公差为 dd，则 b3=b1+2db_3=b_1+2d，⟹\Longrightarrow，13=3+2d13=3+2d，d=5d=5. 所以
T20=202(2b1+19d)=10(6+95)=1010T_{20}=\frac{20}{2}\bigl(2b_1+19d\bigr) =10(6+95)=1010
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1+a3=8a_{1} + a_{3} = 8，且 a4a_{4} 为 a2a_{2} 和 a9a_{9} 的等比中项，求数列 {an}\{a_{n}\} 的首项，公差及前 nn 项和.

2013 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2−a1=2a_2-a_1=2，且 2a22a_2 为 3a13a_1 和 a3a_3 的等差中项，求数列 {an}\{a_n\} 的首项，公比及前 nn 项和.

2013 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 表示数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和.
(1) 若 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，推导 SnS_{n} 的计算公式. (2) 若 a1=1a_{1} = 1，q≠0q \neq 0，且对所有正整数 nn，有 Sn=1−qn1−qS_{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q}，判断 {an}\{a_{n}\} 是否为等比数列，并证明你的结论.

2013 · 陕西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，且 a1+a3=8a_{1}+a_{3}=8，a2+a4=12a_{2}+a_{4}=12.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 {Sn}\{S_{n}\}，若 a1a_{1}，aka_{k}，ak+2a_{k+2} 成等比数列，求正整数 kk 的值.

2012 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 q=−12q = -\frac{1}{2}.
(1) 若 a3=14a_3 = \frac{1}{4}，求数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和； (2) 证明：对任意 k∈N+k \in \mathbf{N}_+，aka_k，ak+2a_{k+2}，ak+1a_{k+1} 成等差数列.

2012 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=13a_{1} = \frac{1}{3}，公比 q=13q = \frac{1}{3}.
(1) 若 SnS_{n} 为 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，证明： Sn=1−an2S_{n} = \frac{1 - a_{n}}{2}； (2) 设 bn=log⁡3a1+log⁡3a2+⋯+log⁡3anb_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \cdots + \log_{3} a_{n}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式.

2011 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，已知 a2=6a_2=6，6a1+a3=306a_1+a_3=30，求 ana_n 和 SnS_n.

2011 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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