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07立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AC=42AC=4\sqrt2，BD1=9BD_1=9，则该正四棱柱的体积为______.

2025 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面为直角三角形，两直角边 ABAB 和 ACAC 的长分别为 44 和 22，侧棱 AA1AA_1 的长为 55.
(1) 求三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积； (2) 设 MM 是 BCBC 中点，求直线 A1MA_1M 与平面 ABCABC 所成角的大小.

2017 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 的边长为 33，BD1BD_1 与底面所成角的大小为 arctan⁡23\arctan\dfrac23，则该正四棱柱的高等于______.

2016 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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16立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 BCBC，BB1BB_1 的中点，则下列直线中与直线 EFEF 相交的是（ ）
A.
直线 AA1AA_1
B.
直线 A1B1A_1B_1
C.
直线 A1D1A_1D_1
D.
直线 B1C1B_1C_1

2016 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π2\pi，则其母线与轴的夹角的大小为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍3\text{ 倍}，则其母线与底面夹角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）

2014 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______.
\begin{answer} 2424 \end{answer}
\begin{solution} 由主视图可知，两个缺口在横向上的宽均为 22，在竖直方向上的高均为 22：大长方形的总宽为 55，中间保留部分的宽为 11，所以两侧缺口的宽为 (5−1)2=2\frac{(5-1)}{2}=2，缺口的高度由图中标注为 22. 由左视图和俯视图可知，两个缺口均贯穿长方体的整个深度，深度为 33. 因此每个被切去的小长方体的体积为 2×3×2=122\times3\times2=12，两个小长方体的体积之和为 2×12=242\times12=24. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积是底面积的 33 倍，则其母线与轴所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）
\begin{answer} arcsin⁡13\arcsin\frac{1}{3} \end{answer}
\begin{solution} 设圆锥底面半径为 r>0r>0，母线长为 ll. 由圆锥侧面积为 πrl\pi rl、底面积为 πr2\pi r^2，且侧面积是底面积的 33 倍，得 πrl=3πr2\pi rl=3\pi r^2，从而 l=3rl=3r. 设母线与轴所成的锐角为 θ\theta. 在圆锥的轴截面中，母线是斜边，底面半径是与 θ\theta 对应的对边，因此 sin⁡θ=rl=13\sin\theta=\dfrac r l=\dfrac13. 由于 0<θ<π20<\theta<\dfrac\pi2，所以 θ=arcsin⁡13\theta=\arcsin\dfrac13. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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19立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 22 的正三棱锥 P−ABCP-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3P_{1}P_{2}P_{3}，如图，求 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的各边长及此三棱锥的体积 VV.
\begin{solution} 设正三棱锥的侧棱长为 ll. 由展开图，P1P_1，BB，P2P_2 共线，且 P1B=BP2=lP_1B=BP_2=l，所以 P1P2=2lP_1P_2=2l. 又因 P2P_2，CC，P3P_3 共线且 P2C=CP3=lP_2C=CP_3=l，有 P2P3=2lP_2P_3=2l；因 P3P_3，AA，P1P_1 共线且 P3A=AP1=lP_3A=AP_1=l，有 P3P1=2lP_3P_1=2l. 因此 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的三边相等.
在展开图中，AA、BB、CC 分别位于外三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 的三边上，且每个点把相应边分成长度均为 ll 的两段，所以 AA、BB、CC 分别是三边的中点. 由三角形中位线定理，ABAB、BCBC、CACA 分别等于外三角形对应边长的一半，即 AB=BC=CA=lAB=BC=CA=l. 底面边长为 22，故 l=2l=2，于是 P1P2=P2P3=P3P1=2l=4P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1=2l=4.
设底面中心为 OO. 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3，所以其外接圆半径为 AO=233=233AO=\dfrac23\sqrt3=\dfrac{2\sqrt3}{3}. 正三棱锥的高 POPO 垂直于底面，且 PA=l=2PA=l=2. 在直角三角形 PAOPAO 中， PO=PA2−AO2=4−43=263PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{4-\dfrac43}=\dfrac{2\sqrt6}{3}.
底面面积为 SABC=12×2×3=3S_{ABC}=\dfrac12\times2\times\sqrt3=\sqrt3，故三棱锥体积为 V=13SABC⋅PO=13×3×263=223V=\dfrac13S_{ABC}\cdot PO=\dfrac13\times\sqrt3\times\dfrac{2\sqrt6}{3}=\dfrac{2\sqrt2}{3}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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10立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱 Ω\Omega 的母线长为 ll，底面半径为 rr，OO 是上底面圆心，AA，BB 是下底面圆周上两个不同的点，BCBC 是母线，如图. 若直线 OAOA 与 BCBC 所成角的大小为 π6\frac{\pi}{6}，则 lr=‾\frac{l}{r} =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}
\begin{solution} 过下底面点 AA 作母线 ADAD，交上底面于 DD，则 AD∥BCAD\parallel BC，且 OD⊥ADOD\perp AD、OD=rOD=r、AD=lAD=l. 因此 ∠OAD\angle OAD 就是直线 OAOA 与 BCBC 所成的角，大小为 π6\frac{\pi}{6}. 在直角三角形 ODAODA 中，
tan⁡π6=ODAD=rl\tan\frac{\pi}{6}=\frac{OD}{AD}=\frac{r}{l}
所以 rl=13\frac{r}{l}=\frac{1}{\sqrt{3}}，即 lr=3\frac{l}{r}=\sqrt{3}. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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19立体几何初步★★☆☆☆
如图，正三棱锥 O−ABCO - ABC 底面边长为 22，高为 11，求该三棱锥的体积及表面积.
\begin{solution} 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}，所以底面积为 12×2×3=3\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}. 因此三棱锥的体积为
V=13×3×1=33V=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times1=\frac{\sqrt{3}}{3}
设 HH 是正三角形 ABCABC 的中心，DD 是 ABAB 的中点. 则 HDHD 是正三角形的内切半径，HD=33HD=\frac{\sqrt{3}}{3}，且正三棱锥的高 OH=1OH=1，所以侧面三角形 OABOAB 的高为
OD=OH2+HD2=12+(33)2=233OD=\sqrt{OH^2+HD^2}=\sqrt{1^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
每个侧面三角形的面积为 12×2×233=233\frac{1}{2}\times2\times\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}，三个侧面的总面积为 232\sqrt{3}. 故三棱锥的表面积为
S=3+23=33S=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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08立体几何初步★★☆☆☆
若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π2\pi 的半圆面，则该圆锥的体积为______.

2012 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积为 2π2\pi，底面积为 π\pi，则该圆锥的体积为______.

2011 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
已知三个球的半径 R1R_1，R2R_2，R3R_3 满足 R1+2R2=3R3R_1 + 2R_2 = 3R_3，则它们的表面积 S1S_1，S2S_2，S3S_3 满足的等量关系是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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05立体几何初步★★☆☆☆
如图，若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 的底面边长为 22，高为 44，则异面直线 BD1BD_1 与 ADAD 所成角的大小是______. （结果用反三角函数表示）

2009 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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16立体几何初步★★☆☆☆
如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 33 和 44，过直角顶点的侧棱长为 44，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.

2009 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
给定空间中的直线 ll 及平面 α\alpha，条件“直线 ll 与平面 α\alpha 内无数条直线都垂直”是“直线 ll 与平面 α\alpha 垂直”的（\quad）
A.
充要条件
B.
充分非必要条件
C.
必要非充分条件
D.
既非充分又非必要条件

2008 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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16立体几何初步★★☆☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE 是 BC1BC_{1} 的中点. 求直线 DEDE 与平面 ABCDABCD 所成角的大小. （结果用反三角函数表示）

2008 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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13立体几何初步★★☆☆☆
给定空间中的直线 ll 及平面 α\alpha，条件“直线 ll 与平面 α\alpha 内无数条直线都垂直”是“直线 ll 与平面 α\alpha 垂直”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2008 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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16立体几何初步★★☆☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 是 BC1BC_1 的中点. 求直线 DEDE 与平面 ABCDABCD 所成角的大小.（结果用反三角函数表示）

2008 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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07立体几何初步★★☆☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，AA1=2AA_{1} = 2，AC=BC=1AC = BC = 1，则异面直线 A1BA_{1}B 与 ACAC 所成角的大小是______.（结果用反三角函数值表示）

2007 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★☆☆☆
若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分又非必要条件

2006 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
在下列关于直线 ll，mm 与平面 α\alpha，β\beta 的命题中，真命题是（ ）
A.
若 l⊂βl \subset \beta 且 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l⊥αl \perp \alpha
B.
若 l⊥βl \perp \beta 且 α∥β\alpha \parallel \beta，则 l⊥αl \perp \alpha
C.
若 l⊥βl \perp \beta 且 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l∥αl \parallel \alpha
D.
若 α∩β=m\alpha \cap \beta = m 且 l∥ml \parallel m，则 l∥αl \parallel \alpha

2004 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
在下列关于直线 ll，mm 与平面 α\alpha，β\beta 的命题中，真命题是（\quad）
A.
若 l⊂βl \subset \beta 且 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l⊥αl \perp \alpha
B.
若 l⊥βl \perp \beta 且 α∥β\alpha \parallel \beta，则 l⊥αl \perp \alpha
C.
若 l⊥βl \perp \beta 且 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l∥αl \parallel \alpha
D.
若 α∩β=m\alpha \cap \beta = m 且 l∥ml \parallel m，则 l∥αl \parallel \alpha

2004 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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