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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3\sqrt3，则圆锥的体积为（ ）
A.
23π2\sqrt3\pi
B.
33π3\sqrt3\pi
C.
63π6\sqrt3\pi
D.
93π9\sqrt3\pi

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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145分立体几何初步★★☆☆☆
在正四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，A1B1=1A_1B_1=1，AA1=2AA_1=\sqrt2，则该棱台的体积为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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045分立体几何初步★★☆☆☆
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔 148.5m148.5\text{m} 时，相应水面的面积为 140.0km2140.0\text{km}^2；水位为海拔 157.5m157.5\text{m} 时，相应水面的面积为 180.0km2180.0\text{km}^2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m148.5\text{m} 上升到 157.5m157.5\text{m} 时，增加的水量约为（7≈2.65\sqrt7\approx 2.65）（ ）
A.
1.0×109m31.0\times 10^9\text{m}^3
B.
1.2×109m31.2\times 10^9\text{m}^3
C.
1.4×109m31.4\times 10^9\text{m}^3
D.
1.6×109m31.6\times 10^9\text{m}^3

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
5−14\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}
B.
5−12\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
C.
5+14\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}
D.
5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1O_1，O2O_2，过直线 O1O2O_1O_2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 88 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A.
122π12\sqrt2\pi
B.
12π12\pi
C.
82π8\sqrt2\pi
D.
10π10\pi

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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10立体几何初步★★☆☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=BC=2AB=BC=2，AC1AC_1 与平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成的角为 30∘30^\circ，则该长方体的体积为（ ）
A.
88
B.
626\sqrt2
C.
828\sqrt2
D.
838\sqrt3

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★☆☆☆
若 ll、mm 是两条不同的直线，mm 垂直于平面 α\alpha，则“l⊥ml \perp m”是“l∥αl \parallel \alpha”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
要制作一个容积为 4 m34 \mathrm{~m}^{3}，高为 1 m1 \mathrm{~m} 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元20\text{ 元}，侧面造价是每平方米 10 元10\text{ 元}，则该容器的最低总造价是______元\text{元}.

2014 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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04立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A.
球
B.
三棱锥
C.
正方体
D.
圆柱

2012 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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12立体几何初步★★☆☆☆
三棱锥 P−ABCP - ABC 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCABC，PA=3PA = 3，底面 ABCABC 是边长为 22 的正三角形，则三棱锥 P−ABCP - ABC 的体积等于______.

2011 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，若 Ω\Omega 是长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 被平面 EFGHEFGH 截去几何体 EFGHB1C1EFGHB_{1}C_{1} 后得到的几何体，其中 EE 为线段 A1B1A_{1}B_{1} 上异于 B1B_{1} 的点，FF 为线段 BB1BB_{1} 上异于 B1B_{1} 的点，且 EH∥A1D1EH \parallel A_{1}D_{1}，则下列结论中不正确的是（ ）
A.
EH∥FGEH \parallel FG
B.
四边形 EFGHEFGH 是矩形
C.
Ω\Omega 是棱柱
D.
Ω\Omega 是棱台

2010 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12立体几何初步★★☆☆☆
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其表面积等于______.

2010 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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03立体几何初步★★☆☆☆
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
2
C.
232\sqrt{3}
D.
6

2010 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 12\frac{1}{2}. 则该几何体的俯视图可以是（ ）
A.
B.
C.
D.

2009 · 福建 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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15立体几何初步★★☆☆☆
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3\sqrt{3}，则其外接球的表面积是______. \begin{answer} 9π9\pi \end{answer} \begin{solution} 设三棱锥顶点为 PP，底面顶点为 AA，BB，CC. 三个侧面两两垂直，因此它们的两两交线 PAPA、PBPB、PCPC 两两垂直. 取 P(0,0,0)P(0,0,0)，A(3,0,0)A(\sqrt3,0,0)，B(0,3,0)B(0,\sqrt3,0)，C(0,0,3)C(0,0,\sqrt3).
外接球心到四个顶点距离相等. 由对称性球心为 O(32,32,32)O\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)，所以外接球半径满足
R2=(32)2+(32)2+(32)2=94R^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac94
故其表面积为 4πR2=9π4\pi R^2=9\pi. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=BC=2AB = BC = 2，AA1=1AA_{1} = 1，则 AC1AC_{1} 与平面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 所成角的正弦值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 线段 AC1AC_1 在平面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 上的射影为 A1C1A_1C_1. 由 AB=BC=2AB=BC=2，得 A1C1=AB2+BC2=22A_1C_1=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt2. 又 AA1=1AA_1=1，所以 AC1=A1C12+AA12=8+1=3AC_1=\sqrt{A_1C_1^2+AA_1^2}=\sqrt{8+1}=3. 设 AC1AC_1 与该平面所成的角为 θ\theta，则 sin⁡θ=AA1AC1=13\sin\theta=\dfrac{AA_1}{AC_1}=\dfrac13，故选 D. \end{solution}
A.
223\frac{2\sqrt{2}}{3}
B.
23\frac{2}{3}
C.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
D.
13\frac{1}{3}

2008 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
已知 mm，nn 为两条不同的直线，α\alpha，β\beta 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.
m⊂αm \subset \alpha，n⊂αn \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta，n∥β⇒α∥βn \parallel \beta \Rightarrow \alpha \parallel \beta
B.
α∥β\alpha \parallel \beta，m⊂αm \subset \alpha，n⊂β⇒m∥nn \subset \beta \Rightarrow m \parallel n
C.
m⊥αm \perp \alpha，m⊥n⇒n∥αm \perp n \Rightarrow n \parallel \alpha
D.
n∥mn \parallel m，n⊂α⇒m⊥αn \subset \alpha \Rightarrow m \perp \alpha

2007 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★☆☆☆
已知 mm，nn 为两条不同的直线，α\alpha，β\beta 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.
m⊂αm \subset \alpha，n⊂αn \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta，n∥β⇒α∥βn \parallel \beta \Rightarrow \alpha \parallel \beta
B.
α∥β\alpha \parallel \beta，m⊂αm \subset \alpha，n⊂β⇒m∥nn \subset \beta \Rightarrow m \parallel n
C.
m⊥αm \perp \alpha，m⊥n⇒n∥αm \perp n \Rightarrow n \parallel \alpha
D.
n∥mn \parallel m，n⊥α⇒m⊥αn \perp \alpha \Rightarrow m \perp \alpha

2007 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
已知正方体外接球的体积是 323π\frac{32}{3}\pi，那么正方体的棱长等于（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
C.
423\frac{4\sqrt{2}}{3}
D.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}

2006 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
对于平面 α\alpha 和共面的直线 mm，nn，下列命题中真命题是（ ）
A.
若 m⊥αm \perp \alpha，m⊥nm \perp n，则 n∥αn \parallel \alpha
B.
若 m∥αm \parallel \alpha，n∥αn \parallel \alpha，则 m∥nm \parallel n
C.
若 m⊂αm \subset \alpha，n∥αn \parallel \alpha，则 m∥nm \parallel n
D.
若 mm，nn 与 α\alpha 所成的角相等，则 m∥nm \parallel n

2006 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知正方体外接球的体积是 323π\frac{32}{3}\pi，那么正方体的棱长等于（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
C.
423\frac{4\sqrt{2}}{3}
D.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}

2006 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10立体几何初步★★☆☆☆
对于平面 α\alpha 和共面的直线 mm，nn，下列命题中真命题是（ ）
A.
若 m⊥αm \perp \alpha，m⊥nm \perp n，则 n∥αn \parallel \alpha
B.
若 m∥αm \parallel \alpha，n∥αn \parallel \alpha，则 m∥nm \parallel n
C.
若 m⊂αm \subset \alpha，n∥αn \parallel \alpha，则 m∥nm \parallel n
D.
若 mm，nn 与 α\alpha 所成的角相等，则 m∥nm \parallel n

2006 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=AB=2AA_{1} = AB = 2，AD=1AD = 1，点 EE，FF，GG 分别是 DD1DD_{1}，ABAB，CC1CC_{1} 的中点，则异面直线 A1EA_{1}E 与 GFGF 所成的角是（ ）
A.
arccos⁡155\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
arccos⁡105\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2005 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
已知直线 mm，nn 与平面 α\alpha，β\beta，给出下列三个命题：
① 若 m∥αm \parallel \alpha，n∥αn \parallel \alpha，则 m∥nm \parallel n； ② 若 m∥αm \parallel \alpha，n⊥αn \perp \alpha，则 n⊥mn \perp m； ③ 若 m⊥αm \perp \alpha，m∥βm \parallel \beta，则 α⊥β\alpha \perp \beta.
其中真命题的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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