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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，在圆柱 OO1OO_1 中，底面半径为 11，AA1AA_1 为圆柱 OO1OO_1 的母线.
(1) 若 AA1=4AA_1=4，MM 为 AA1AA_1 的中点，求直线 MO1MO_1 与底面的夹角大小； (2) 若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

2022 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面为直角三角形，两直角边 ABAB 和 ACAC 的长分别为 44 和 22，侧棱 AA1AA_1 的长为 55.
(1) 求三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积； (2) 设 MM 是 BCBC 中点，求直线 A1MA_1M 与平面 ABCABC 所成角的大小.

2017 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
如图，ABAB 为半圆 OO 的直径，直线 PCPC 切半圆 OO 于点 CC，AP⊥PCAP\perp PC，PP 为垂足. 求证：
(1) ∠PAC=∠CAB\angle PAC=\angle CAB； (2) AC2=AP⋅ABAC^2=AP\cdot AB.

2017 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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25立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正四棱柱中 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}， AB=1AB=1， D1BD_{1}B 和平面 ABCDABCD 所成的角的大小为 arctan⁡324\arctan\frac{3\sqrt{2}}{4}，求该四棱柱的表面积.
\begin{solution} 设正四棱柱的高为 hh. 线段 D1BD_1B 在底面 ABCDABCD 上的射影为底面对角线 DBDB，所以 DB=2DB=\sqrt2. 设 D1BD_1B 与底面所成的角为 θ\theta，则 tan⁡θ=hDB=h2\tan\theta=\frac{h}{DB}=\frac{h}{\sqrt2}. 由题意 tan⁡θ=324\tan\theta=\frac{3\sqrt2}{4}，故 h=2⋅324=32h=\sqrt2\cdot\frac{3\sqrt2}{4}=\frac32.
正四棱柱的表面积为两个底面积与四个侧面积之和，因此 S=2⋅12+4⋅1⋅32=8S=2\cdot1^2+4\cdot1\cdot\frac32=8. 所以该四棱柱的表面积为 88. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 25 题 · 解答题

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19立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 22 的正三棱锥 P−ABCP-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3P_{1}P_{2}P_{3}，如图，求 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的各边长及此三棱锥的体积 VV.
\begin{solution} 设正三棱锥的侧棱长为 ll. 由展开图，P1P_1，BB，P2P_2 共线，且 P1B=BP2=lP_1B=BP_2=l，所以 P1P2=2lP_1P_2=2l. 又因 P2P_2，CC，P3P_3 共线且 P2C=CP3=lP_2C=CP_3=l，有 P2P3=2lP_2P_3=2l；因 P3P_3，AA，P1P_1 共线且 P3A=AP1=lP_3A=AP_1=l，有 P3P1=2lP_3P_1=2l. 因此 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的三边相等.
在展开图中，AA、BB、CC 分别位于外三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 的三边上，且每个点把相应边分成长度均为 ll 的两段，所以 AA、BB、CC 分别是三边的中点. 由三角形中位线定理，ABAB、BCBC、CACA 分别等于外三角形对应边长的一半，即 AB=BC=CA=lAB=BC=CA=l. 底面边长为 22，故 l=2l=2，于是 P1P2=P2P3=P3P1=2l=4P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1=2l=4.
设底面中心为 OO. 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3，所以其外接圆半径为 AO=233=233AO=\dfrac23\sqrt3=\dfrac{2\sqrt3}{3}. 正三棱锥的高 POPO 垂直于底面，且 PA=l=2PA=l=2. 在直角三角形 PAOPAO 中， PO=PA2−AO2=4−43=263PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{4-\dfrac43}=\dfrac{2\sqrt6}{3}.
底面面积为 SABC=12×2×3=3S_{ABC}=\dfrac12\times2\times\sqrt3=\sqrt3，故三棱锥体积为 V=13SABC⋅PO=13×3×263=223V=\dfrac13S_{ABC}\cdot PO=\dfrac13\times\sqrt3\times\dfrac{2\sqrt6}{3}=\dfrac{2\sqrt2}{3}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21立体几何初步★★☆☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，CC，DD 是圆 OO 上位于 ABAB 异侧的两点，证明： ∠OCB=∠D\angle OCB = \angle D.

2014 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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19立体几何初步★★☆☆☆
如图，正三棱锥 O−ABCO - ABC 底面边长为 22，高为 11，求该三棱锥的体积及表面积.
\begin{solution} 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}，所以底面积为 12×2×3=3\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}. 因此三棱锥的体积为
V=13×3×1=33V=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times1=\frac{\sqrt{3}}{3}
设 HH 是正三角形 ABCABC 的中心，DD 是 ABAB 的中点. 则 HDHD 是正三角形的内切半径，HD=33HD=\frac{\sqrt{3}}{3}，且正三棱锥的高 OH=1OH=1，所以侧面三角形 OABOAB 的高为
OD=OH2+HD2=12+(33)2=233OD=\sqrt{OH^2+HD^2}=\sqrt{1^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
每个侧面三角形的面积为 12×2×233=233\frac{1}{2}\times2\times\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}，三个侧面的总面积为 232\sqrt{3}. 故三棱锥的表面积为
S=3+23=33S=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★☆☆☆
直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，AB=AA1AB = AA_1，∠CAB=π2\angle CAB = \frac{\pi}{2}.
(1) 证明：CB1⊥BA1CB_1 \perp BA_1； (2) 已知 AB=2AB = 2，BC=5BC = \sqrt{5}，求三棱锥 C1−ABA1C_1 - ABA_1 的体积.

2012 · 陕西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16立体几何初步★★☆☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE 是 BC1BC_{1} 的中点. 求直线 DEDE 与平面 ABCDABCD 所成角的大小. （结果用反三角函数表示）

2008 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16立体几何初步★★☆☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 是 BC1BC_1 的中点. 求直线 DEDE 与平面 ABCDABCD 所成角的大小.（结果用反三角函数表示）

2008 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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26立体几何初步★★☆☆☆
如图，在空间直角坐标系中，BC=2BC=2，原点 OO 是 BCBC 的中点，点 AA 的坐标是 (32,12,0)\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)，点 DD 在平面 yozyoz 上，且 ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ，∠DCB=30∘\angle DCB=30^\circ.
(1) 求向量 OD→\overrightarrow{OD} 的坐标； (2) 设向量 AD→\overrightarrow{AD} 和 BC→\overrightarrow{BC} 的夹角为 θ\theta，求 cos⁡θ\cos\theta 的值.

1995 · 上海 · 文 · 第 26 题（B） · 解答题

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22平面向量★★☆☆☆
已知空间三个点 P(−2,0,2)P(-2,0,2)，Q(−1,1,2)Q(-1,1,2) 和 R(−3,0,4)R(-3,0,4). 设 a=PQ→\boldsymbol{a} = \overrightarrow{PQ}，b=PR→\boldsymbol{b} = \overrightarrow{PR}.
(1) 求 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角 θ\theta（用反三角函数表示）； (2) 试确定实数 kk，使 ka+bk \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 与 ka−2bk \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} 互相垂直.

1994 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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27立体几何初步★★☆☆☆
如图，已知直棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^{\circ}，∠BAC=30∘\angle BAC=30^{\circ}，BC=1BC=1，AA1=6AA_1=\sqrt{6}，MM 是 CC1CC_1 的中点. 求证：AB1⊥A1MAB_1\perp A_1M.

1991 · 三南 · 第 27 题 · 解答题

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23立体几何初步★★☆☆☆
一个圆锥容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图. 两容器内盛有的液体的体积正好相等，且液面高度 hh 正好相同. 求 hh.

1988 · 上海 · 第 23 题 · 解答题

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15立体几何初步★★☆☆☆
一个正三棱台的下底和上底的周长分别为 30 cm30 \mathrm{~cm} 和 12 cm12 \mathrm{~cm}，而侧面积等于两底面积之差，求斜高.

1987 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15立体几何初步★★☆☆☆
圆锥底面积为 3π3\pi，母线与底面所成的角为 60∘60^\circ，求它的体积.

1987 · 全国 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，PAPA 垂直于圆 OO 所在的平面，CC 是圆周上不同于 AA，BB 的任一点. 求证：平面 PACPAC 垂直于平面 PBCPBC.

1986 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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13立体几何初步★★☆☆☆
在 xOyxOy 平面上，△ABC\triangle ABC 的三个顶点坐标依次为 (0,0)(0,0)，(1,0)(1,0)，(0,3)(0,3)，将这个三角形绕 xx 轴旋转一周，求所得到的几何体的体积.

1986 · 全国 · 文 · 第 13 题 · 解答题

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06立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱的侧面展开图是边长为 22 与 44 的矩形，求圆柱的体积.

1984 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 解答题

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04立体几何初步★★☆☆☆
叙述并证明勾股定理.

1979 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 解答题

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02立体几何初步★★☆☆☆
(1) 已知梯形 ABCDABCD，AD∥BCAD\parallel BC，对角线 ACAC 和 BDBD 相交于点 EE，过点 EE 作平行于底的直线，交 ABAB 于点 MM，交 CDCD 于点 NN，求证：ME=ENME=EN. (2) 圆台上底直径为 12 cm12\mathrm{~cm}，下底直径为 24 cm24\mathrm{~cm}，高为 8 cm8\mathrm{~cm}，求圆台的全面积.（π=3.14\pi=3.14，精确到 0.1 cm20.1\mathrm{~cm}^2）

1977 · 内蒙古 · 理 · 第 2 题 · 解答题

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04立体几何初步★★☆☆☆
解下列各题.
(1) 圆锥的高为 6 cm6 \mathrm{~cm}，母线和底面半径成 30∘30^\circ 角，求它的侧面积. (2) 求过点 (1,4)\left(1,4\right) 且与直线 2x−5y+3=02x-5y+3=0 垂直的直线方程.

1977 · 黑龙江 · 第 4 题 · 解答题

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08立体几何初步★★☆☆☆
在直角 △ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C=90^\circ，CD⊥ABCD\perp AB. 求证 CDAD=BDCD\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}.

1977 · 黑龙江 · 初试 · 第 8 题 · 解答题

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02立体几何初步★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠C\angle C 的平分线交 ABAB 于 DD，过 DD 作 BCBC 的平行线交 ACAC 于 EE，已知 BC=aBC=a，AC=bAC=b，求 DEDE 的长.

1977 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 解答题

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05立体几何初步★★☆☆☆
六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的 1 mm31 \mathrm{~mm}^3）.

1977 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 解答题

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