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09三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三边长分别为 33，55，77，则该三角形的外接圆半径等于______.

2016 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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08三角函数★★☆☆☆
方程 3sin⁡x=1+cos⁡2x3\sin x=1+\cos2x 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上的解为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三边长分别为 33，55，77，则该三角形的外接圆半径等于______.

2016 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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16三角函数★★☆☆☆
已知点 AA 的坐标为 (43,1)(4\sqrt{3}, 1)，将 OAOA 绕坐标原点 OO 逆时针旋转 π3\frac{\pi}{3} 至 OBOB，则点 BB 的纵坐标为（ ）
A.
332\frac{3\sqrt{3}}{2}
B.
532\frac{5\sqrt{3}}{2}
C.
112\frac{11}{2}
D.
132\frac{13}{2}

2015 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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01三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=1−3sin⁡2xf(x)=1-3\sin^{2}x 的最小正周期为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
已知点 AA 的坐标为 (43,1)(4\sqrt{3}, 1)，将 OAOA 绕坐标原点 OO 逆时针旋转 π3\frac{\pi}{3} 至 OBOB，则点 BB 的纵坐标为（ ）
A.
332\frac{3\sqrt{3}}{2}
B.
532\frac{5\sqrt{3}}{2}
C.
112\frac{11}{2}
D.
132\frac{13}{2}

2015 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 若 3a2+2ab+3b2−3c2=03a^2+2ab+3b^2-3c^2=0，则角 CC 的大小是______. （结果用反三角函数值表示） \begin{answer} π−arccos⁡(13)\pi-\arccos\left(\frac{1}{3}\right) \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C
将其代入题设条件，得
3a2+2ab+3b2−3(a2+b2−2abcos⁡C)=03a^2+2ab+3b^2-3(a^2+b^2-2ab\cos C)=0
即 2ab(1+3cos⁡C)=02ab(1+3\cos C)=0. 三角形边长 aa，b>0b>0，故
cos⁡C=−13\cos C=-\frac{1}{3}
由于 0<C<π0<C<\pi，
C=arccos⁡(−13)=π−arccos⁡(13)C=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)=\pi-\arccos\left(\frac{1}{3}\right)
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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11三角函数★★☆☆☆
若 cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=12\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{2}，sin⁡2x+sin⁡2y=23\sin 2x+\sin 2y=\frac{2}{3}，则 sin⁡(x+y)=\sin(x+y)=______. \begin{answer} 23\frac{2}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由三角恒等式，第一式左边为
cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=cos⁡(x−y)=12\cos x\cos y+\sin x\sin y=\cos(x-y)=\frac{1}{2}
又
sin⁡2x+sin⁡2y=2sin⁡(x+y)cos⁡(x−y)=23\sin2x+\sin2y=2\sin(x+y)\cos(x-y)=\frac{2}{3}
代入 cos⁡(x−y)=12\cos(x-y)=\frac12，得
sin⁡(x+y)=232⋅(12)=23\sin(x+y)=\frac{\frac{2}{3}}{2\cdot(\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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05三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 若 a2+ab+b2−c2=0a^2 + ab + b^2 - c^2 = 0，则角 CC 的大小是______.
\begin{answer} 2π3\frac{2\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C
题设 a2+ab+b2−c2=0a^2+ab+b^2-c^2=0，所以 c2=a2+ab+b2c^2=a^2+ab+b^2. 比较两式并利用 aa，b>0b>0，得 −2abcos⁡C=ab-2ab\cos C=ab，cos⁡C=−12\cos C=-\frac{1}{2}. 因为 CC 是三角形内角，故 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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09三角函数★★☆☆☆
若 cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=13\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{3}，则 cos⁡(2x−2y)=\cos\left(2x-2y\right)=______.
\begin{answer} −79-\frac{7}{9} \end{answer}
\begin{solution} 由两角差的余弦公式，
cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y=13\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{3}
因此
cos⁡(2x−2y)=2cos⁡2(x−y)−1=2(13)2−1=−79\cos(2x-2y)=2\cos^2(x-y)-1=2\left(\frac{1}{3}\right)^2-1=-\frac{7}{9}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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03三角函数★★☆☆☆
函数
f(x)=∣2cos⁡xsin⁡x−1∣f(x) = \left| \begin{matrix} 2 & \cos x \\ \sin x & -1 \end{matrix} \right|
的值域是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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03三角函数★★☆☆☆
函数
f(x)=∣sin⁡x2−1cos⁡x∣f(x) = \left| \begin{matrix} \sin x & 2 \\ -1 & \cos x \end{matrix} \right|
的最小正周期是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 3 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
在相距 2 千米的 AA，BB 两点处测量目标 CC，若 ∠CAB=75∘\angle CAB = 75^{\circ}，∠CBA=60∘\angle CBA = 60^{\circ}，则 AA，CC 两点之间的距离为______千米.

2011 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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08三角函数★★☆☆☆
在相距 2 km2\mathrm{~km} 的 AA，BB 两点处测量目标点 CC，若 ∠CAB=75∘\angle CAB = 75^{\circ}，∠CBA=60∘\angle CBA = 60^{\circ}，则 AA，CC 两点之间的距离是______ km\mathrm{~km}.

2011 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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17集合与逻辑基础★★☆☆☆
若三角方程 sin⁡x=0\sin x = 0 与 sin⁡2x=0\sin 2x = 0 的解集分别为 EE，FF，则（ ）
A.
E⊊FE \subsetneq F
B.
E⊋FE \supsetneq F
C.
E=FE = F
D.
E∩F=∅E \cap F = \varnothing

2011 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
x=2kπ+π4x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} （k∈Zk \in \mathbf{Z}） 是“tan⁡x=1\tan x = 1”成立的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设条件 pp：x=2kπ+π4x=2k\pi+\frac{\pi}{4}，k∈Zk\in\mathbf{Z}，条件 qq：tan⁡x=1\tan x=1. 若 pp 成立，则 tan⁡x=tan⁡(2kπ+π4)=1\tan x=\tan\left(2k\pi+\frac{\pi}{4}\right)=1，所以 pp 是 qq 的充分条件.
但 qq 的一般解为 x=kπ+π4x=k\pi+\frac{\pi}{4}，例如 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 满足 qq，却不能写成 2kπ+π42k\pi+\frac{\pi}{4}. 所以 pp 不是 qq 的必要条件，故选 A，即充分不必要条件. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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19三角函数★★☆☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简： lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg \left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}\right) + \lg \left[ \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \right] - \lg (1 + \sin 2x).

2010 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
“x=2kπ+π4x = 2k\pi + \frac{\pi}{4}（k∈Zk \in \mathbf{Z}）”是“tan⁡x=1\tan x = 1”成立的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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18三角函数★★☆☆☆
若 △ABC\triangle ABC 的三个内角满足 sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=5:11:13\sin A: \sin B: \sin C = 5:11:13，则 △ABC\triangle ABC（ ）
A.
一定是锐角三角形
B.
一定是直角三角形
C.
一定是钝角三角形
D.
可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

2010 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=2cos⁡2x+sin⁡2xy = 2\cos^2 x + \sin 2x 的最小值是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
函数 y=2cos⁡2x+sin⁡2xy = 2\cos^2 x + \sin 2x 的最小值是______.

2009 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=3sin⁡x+sin⁡(π2+x)f(x) = \sqrt{3}\sin x + \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) 的最大值是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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18三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x，g(x)=cos⁡(2x+π6)g(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)，直线 x=tx = t（t∈Rt \in \mathbf{R}）与函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的图象分别交于 MM，NN 两点.
(1) 当 t=π4t = \frac{\pi}{4} 时，求 ∣MN∣|MN| 的值； (2) 求 ∣MN∣\left|MN\right| 在 t∈[0,π2]t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时的最大值.

2008 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡(x+π3)sin⁡(x+π2)y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) 的最小正周期 T=T =______.

2007 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 y=sec⁡x⋅cos⁡(x+π2)y = \sec x \cdot \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) 的最小正周期 T=T =______.

2007 · 上海 · 文 · 第 4 题 · 填空题

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