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085分三角函数★★☆☆☆
已知 0<α<π0<\alpha<\pi，cos⁡α2=55\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt5}{5}，则 sin⁡(α−π4)=\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=（ ）
A.
210\frac{\sqrt2}{10}
B.
25\frac{\sqrt2}{5}
C.
3210\frac{3\sqrt2}{10}
D.
7210\frac{7\sqrt2}{10}

2025 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡αcos⁡α−sin⁡α=3\dfrac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}，则 tan⁡(α+π4)=\tan \left( \alpha+\dfrac{\pi}{4} \right)=（ ）
A.
23+12\sqrt{3}+1
B.
23−12\sqrt{3}-1
C.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D.
1−31-\sqrt{3}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡αcos⁡α−sin⁡α=3\dfrac{\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\sqrt3，则 tan⁡(α+π4)=\tan\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=（ ）
A.
23+12\sqrt3+1
B.
23−12\sqrt3-1
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
1−31-\sqrt3

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★☆☆☆
设甲：sin⁡2α+sin⁡2β=1\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1，乙：sin⁡α+cos⁡β=0\sin\alpha+\cos\beta=0. 则（ ）
A.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.
甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.
甲是乙的充要条件
D.
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)=(x−1)2+ax+sin⁡(x+π2)f(x)=\left( x-1 \right)^2+ax+\sin\left( x+\frac{\pi}{2} \right). 若 f(x)f(x) 为偶函数，则 a=a=______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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08三角函数★★☆☆☆
沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，\myarcAB\myarc{AB} 是以 OO 为圆心，OAOA 为半径的圆弧，CC 是 ABAB 的中点，DD 在 \myarcAB\myarc{AB} 上，CD⊥ABCD\perp AB，“会圆术”给出的弧长的近似值 ss 的计算公式：s=AB‾+CD2OAs=\overline{AB}+\frac{CD^2}{OA}. 当 OA=2OA=2，∠AOB=60∘\angle AOB=60^\circ 时，s=s=（ ）
A.
11−332\dfrac{11-3\sqrt3}{2}
B.
11−432\dfrac{11-4\sqrt3}{2}
C.
9−332\dfrac{9-3\sqrt3}{2}
D.
9−432\dfrac{9-4\sqrt3}{2}

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
将函数 f(x)=sin⁡(ωx+π3)f(x)=\sin\left(\omega x+\dfrac{\pi}{3}\right)（ω>0\omega>0）的图像向左平移 π2\dfrac{\pi}{2} 个单位长度后得到曲线 CC，若 CC 关于 yy 轴对称，则 ω\omega 的最小值是（ ）
A.
16\dfrac{1}{6}
B.
14\dfrac{1}{4}
C.
13\dfrac{1}{3}
D.
12\dfrac{1}{2}

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 B=120∘B=120^\circ，AC=19AC=\sqrt{19}，AB=2AB=2，则 BC=BC=（ ）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
5\sqrt{5}
D.
33

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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15三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(ωx+φ)f(x)=2\cos(\omega x+\varphi) 的部分图像如图所示，则 f(π2)=‾f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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07三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，cos⁡C=23\cos C=\dfrac{2}{3}，AC=4AC=4，BC=3BC=3，则 cos⁡B=\cos B=（ ）
A.
19\dfrac{1}{9}
B.
13\dfrac{1}{3}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
23\dfrac{2}{3}

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
已知 2tan⁡θ−tan⁡(θ+π4)=72\tan\theta-\tan\left( \theta+\dfrac{\pi}{4} \right)=7，则 tan⁡θ=\tan\theta=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡θ+sin⁡(θ+π3)=1\sin\theta+\sin\left( \theta+\dfrac{\pi}{3} \right)=1，则 sin⁡(θ+π6)=\sin\left( \theta+\dfrac{\pi}{6} \right)=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
C.
23\dfrac{2}{3}
D.
22\dfrac{\sqrt2}{2}

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=2sin⁡x−sin⁡2xf(x)=2\sin x-\sin2x 在 [0,2π][0,2\pi] 的零点个数为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 a2+b2−c24\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4}，则 C=C=（ ）
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
π4\dfrac{\pi}{4}
D.
π2\dfrac{\pi}{2}

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=cos⁡ ⁣(3x+π6)f(x)=\cos\!\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right) 在 [0,π][0,\pi] 的零点个数为______.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=tan⁡x1+tan⁡2xf(x)=\dfrac{\tan x}{1+\tan^2 x} 的最小正周期为（ ）
A.
π4\dfrac\pi4
B.
π2\dfrac\pi2
C.
π\pi
D.
2π2\pi

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 a2+b2−c24\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4}，则 C=C=（ ）
A.
π2\dfrac\pi2
B.
π3\dfrac\pi3
C.
π4\dfrac\pi4
D.
π6\dfrac\pi6

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
为了得到函数 y=sin⁡(2x−π3)y=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right) 的图象，只需把函数 y=sin⁡2xy=\sin 2x 的图象上所有的点（ ）
\begin{solution} 令 u=x−π6u=x-\dfrac{\pi}{6}，则
sin⁡(2x−π3)=sin⁡2u\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin 2u
因此把 y=sin⁡2xy=\sin 2x 的图象向右平移 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度即可得到目标图象，所以选 D. \end{solution}
A.
向左平行移动 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位长度
B.
向右平行移动 π3\dfrac{\pi}{3} 个单位长度
C.
向左平行移动 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度
D.
向右平行移动 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度

2016 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出 SS 的值为（ ）
\begin{solution} 程序开始时 k=1k=1. 每次先执行 k=k+1k=k+1，再判断是否有 k>4k>4，因此第一次满足条件时 k=5k=5. 此时输出 S=sin⁡5π6=12S=\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12，故选 D. \end{solution}
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2015 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
下列函数中，最小正周期为 π\pi 且图象关于原点对称的函数是（ ）
\begin{solution} 选项 A 中 y=cos⁡(2x+π2)=−sin⁡2xy=\cos\left(2x+\dfrac\pi2\right)=-\sin 2x，其最小正周期为 π\pi，且 f(−x)=−sin⁡(−2x)=sin⁡2x=−f(x)f(-x)=-\sin(-2x)=\sin 2x=-f(x)，图象关于原点对称.
选项 B 中 y=sin⁡(2x+π2)=cos⁡2xy=\sin\left(2x+\dfrac\pi2\right)=\cos2x，虽有最小正周期 π\pi，但它是偶函数而不是奇函数；选项 C 中 f(−x)=−sin⁡2x+cos⁡2x≠−f(x)f(-x)=-\sin2x+\cos2x\ne-f(x)，不关于原点对称；选项 D 可化为 2sin⁡(x+π4)\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)，最小正周期为 2π2\pi. 故选 A. \end{solution}
A.
y=cos⁡(2x+π2)y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
B.
y=sin⁡(2x+π2)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
C.
y=sin⁡2x+cos⁡2xy = \sin 2x + \cos 2x
D.
y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x

2015 · 四川 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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12三角函数★★☆☆☆
sin⁡15∘+sin⁡75∘\sin 15^{\circ} + \sin 75^{\circ} 的值是______.
\begin{solution} 由和差化积公式，
sin⁡15∘+sin⁡75∘=2sin⁡45∘cos⁡(−30∘)=2⋅22⋅32=62\sin15^{\circ}+\sin75^{\circ}=2\sin45^{\circ}\cos\left(-30^{\circ}\right)=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2}
\end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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05三角函数★★☆☆☆
下列函数中，最小正周期为 π\pi 的奇函数是（ ）
A.
y=sin⁡(2x+π2)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
B.
y=cos⁡(2x+π2)y = \cos \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)
C.
y=sin⁡2x+cos⁡2xy = \sin 2x + \cos 2x
D.
y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos x

2015 · 四川 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出 SS 的值为（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2015 · 四川 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α+2cos⁡α=0\sin \alpha + 2\cos \alpha = 0，则 2sin⁡αcos⁡α−cos⁡2α2\sin \alpha \cos \alpha - \cos^2 \alpha 的值是______.

2015 · 四川 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
如图，从气球 AA 上测得正前方的河流的两岸 BB，CC 的俯角分别为 67∘67^{\circ}，30∘30^{\circ}，此时气球的高是 46 m46\mathrm{~m}，则河流的宽度 BCBC 约等于______m\mathrm{m}. （用四舍五入法将结果精确到个位. 参考数据：sin⁡67∘≈0.92\sin 67^{\circ} \approx 0.92，cos⁡67∘≈0.39\cos 67^{\circ} \approx 0.39，sin⁡37∘≈0.60\sin 37^{\circ} \approx 0.60，cos⁡37∘≈0.80\cos 37^{\circ} \approx 0.80，3≈1.73\sqrt{3} \approx 1.73）

2014 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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