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14平面向量★★☆☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AD//BCAD//BC，∣AB∣=23|AB|=2\sqrt3，∣AD∣=5|AD|=5，∠A=30∘\angle A=30^\circ，点 EE 在线段 CBCB 的延长线上，且 AE=BEAE=BE，则 BD→⋅AE→=‾\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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07平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是边长为 11 的等边三角形，点 DD，EE 分别是边 ABAB，BCBC 的中点，连接 DEDE 并延长到点 FF，使得 DE=2EFDE=2EF，则 AF→⋅BC→\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC} 的值为（ ）
A.
−85-\dfrac85
B.
18\dfrac18
C.
14\dfrac14
D.
118\dfrac{11}{8}

2016 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是边长为 11 的等边三角形，点 DD，EE 分别是边 ABAB，BCBC 的中点，连接 DEDE 并延长到点 FF，使得 DE=2EFDE=2EF，则 AF→⋅BC→\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC} 的值为（ ）
A.
−58-\frac58
B.
18\frac18
C.
14\frac14
D.
118\frac{11}{8}

2016 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
在等腰梯形 ABCDABCD 中，已知 AB∥DCAB \parallel DC，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. 点 EE 和 FF 分别在线段 BCBC 和 DCDC 上，且 BE→=23BC→\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}，DF→=16DC→\overrightarrow{DF} = \frac{1}{6} \overrightarrow{DC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的值为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，AD=1AD = 1，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}，EE 为 CDCD 的中点. 若 AC→⋅BE→=1\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BE} = 1，则 ABAB 的长为______.

2013 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，AD=1AD = 1，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}，EE 为 CDCD 的中点. 若 AC→⋅BE→=1\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BE} = 1，则 ABAB 的长为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AD⊥ABAD \perp AB，BC→=3BD→\overrightarrow{BC} = \sqrt{3}\overrightarrow{BD}，∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}| = 1，则 AC→⋅AD→=\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} =______.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer} \begin{solution} 由 D∈BCD\in BC，有
BD→=AD→−AB→\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}
因此
AC→=AB→+BC→=AB→+3BD→=(1−3)AB→+3AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\sqrt3\overrightarrow{BD} =(1-\sqrt3)\overrightarrow{AB}+\sqrt3\overrightarrow{AD}
又因 AD⊥ABAD\perp AB 且 ∣AD→∣=1|\overrightarrow{AD}|=1，所以
AC→⋅AD→=(1−3)AB→⋅AD→+3∣AD→∣2=3\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} =(1-\sqrt3)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} +\sqrt3\left|\overrightarrow{AD}\right|^2 =\sqrt3
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
若等边 △ABC\triangle ABC 的边长为 232\sqrt{3}，平面内一点 MM 满足 CM→=16CB→+23CA→\overrightarrow{CM} = \frac{1}{6}\overrightarrow{CB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CA}，则 MA→⋅MB→=\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =______.

2009 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−3,2)\overrightarrow{BD} = (-3, 2)，则 AD→⋅AC→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2008 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(2,4)\boldsymbol{a} = (2, 4)，b=(−1,2)\boldsymbol{b} = (-1, 2)，若 c=a−(a⋅b)b\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{b}. 则 ∣c∣=|\boldsymbol{c}| =______.

2008 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=2AB = 2，AC=3AC = 3，DD 是边 BCBC 的中点，则 AD→⋅BC→=‾\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} =\underline{\hspace{2em}}.

2007 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，且 a=(3,3)\boldsymbol{a}=(3,3)，2b−a=(−1,1)2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=(-1,1)，则 cos⁡θ=\cos\theta=______.

2006 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，且 a=(3,3)\boldsymbol{a} = (3, 3)，2b−a=(−1,1)2\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} = (-1, 1)，则 cos⁡θ=‾\cos \theta =\underline{\hspace{2em}}.

2006 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知 ∣a∣=2\left|\boldsymbol{a}\right| = 2，∣b∣=4\left|\boldsymbol{b}\right| = 4，a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______.

2005 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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