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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(1,−1)\boldsymbol{b}=(1,-1)，若 (a+λb)⊥(a+μb)(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})，则（ ）
A.
λ+μ=1\lambda+\mu=1
B.
λ+μ=−1\lambda+\mu=-1
C.
λμ=1\lambda\mu=1
D.
λμ=−1\lambda\mu=-1

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}，则“a⋅c=b⋅c\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}”是“a=b\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2021 · 浙江 · 第 3 题 · 选择题

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14平面向量★★☆☆☆
若平面向量 α\alpha，β\beta 满足 ∣α∣=1|\alpha| = 1，∣β∣⩽1|\beta| \leqslant 1，且以向量 α\alpha，β\beta 为邻边的平行四边形的面积为 12\frac{1}{2}，则 α\alpha 和 β\beta 的夹角 θ\theta 的取值范围是______.

2011 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 α\alpha，β\beta 满足 ∣α∣=1|\alpha| = 1，∣β∣=2|\beta| = 2，α⊥(α−2β)\alpha \perp (\alpha - 2\beta)，则 ∣2α+β∣|2\alpha + \beta| 的值是______.
\begin{answer} 10\sqrt{10} \end{answer}
\begin{solution} 由 α⊥(α−2β)\alpha\perp(\alpha-2\beta)，得
α⋅(α−2β)=0\alpha\cdot(\alpha-2\beta)=0
代入 ∣α∣=1|\alpha|=1，可得 1−2α⋅β=01-2\alpha\cdot\beta=0，α⋅β=12\alpha\cdot\beta=\frac12. 于是
∣2α+β∣2=4∣α∣2+4α⋅β+∣β∣2=4+4×12+4=10|2\alpha+\beta|^2 =4|\alpha|^2+4\alpha\cdot\beta+|\beta|^2 =4+4\times\frac12+4=10
长度非负，所以 ∣2α+β∣=10|2\alpha+\beta|=\sqrt{10}. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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05平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,2)\boldsymbol{a} = (1, 2)，b=(2,−3)\boldsymbol{b} = (2, -3). 若向量 c\boldsymbol{c} 满足 (c+a)∥b(\boldsymbol{c} + \boldsymbol{a}) \parallel \boldsymbol{b}，c⊥(a+b)\boldsymbol{c} \perp (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})，则 c=\boldsymbol{c} =（ ）
A.
(79,73)\left(\frac{7}{9}, \frac{7}{3}\right)
B.
(−73,−79)\left(-\frac{7}{3}, -\frac{7}{9}\right)
C.
(73,79)\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{9}\right)
D.
(−79,−73)\left(-\frac{7}{9}, -\frac{7}{3}\right)

2009 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=∣b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{b}|，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由 ∣a+b∣=∣b∣\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert=\lvert\boldsymbol{b}\rvert，平方得
∣a∣2+2a⋅b+∣b∣2=∣b∣2\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2=\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2
所以 a⋅b=−12∣a∣2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac12\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2. 于是
∣a+2b∣2=∣a∣2+4a⋅b+4∣b∣2=4∣b∣2−∣a∣2<4∣b∣2=∣2b∣2\lvert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\rvert^2 =\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2 =4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2-\lvert\boldsymbol{a}\rvert^2 <4\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2=\lvert2\boldsymbol{b}\rvert^2
故 ∣2b∣>∣a+2b∣\lvert2\boldsymbol{b}\rvert>\lvert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\rvert，选 C. \end{solution}
A.
∣2a∣>∣2a+b∣|2\boldsymbol{a}| > |2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|
B.
∣2a∣<∣2a+b∣|2\boldsymbol{a}| < |2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|
C.
∣2b∣>∣a+2b∣|2\boldsymbol{b}| > |\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}|
D.
∣2b∣<∣a+2b∣|2\boldsymbol{b}| < |\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}|

2007 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c}，满足 a+b+c=0\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 0，(a−b)⊥c(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{c}，a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，若 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，则 ∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 的值是______.
\begin{answer} 44 \end{answer}
\begin{solution} 由 a+b+c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0，得 c=−(a+b)\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}). 由 (a−b)⊥c(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{c}，有
0=(a−b)⋅c=−(a−b)⋅(a+b)=−∣a∣2+∣b∣20=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=-|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2
所以 ∣b∣=∣a∣=1|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|=1. 又因为 a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，
∣c∣2=∣a+b∣2=∣a∣2+∣b∣2=2|\boldsymbol{c}|^2=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2=2
故 ∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2=1+1+2=4|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{c}|^2=1+1+2=4. \end{solution}

2006 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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05平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 a+b+c=0\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 0，a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}，∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，则 ∣c∣2=|\boldsymbol{c}|^2 =（ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
55

2006 · 浙江 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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14平面向量★★☆☆☆
已知平面上三点 AA，BB，CC 满足 ∣AB→∣=3\left|\overrightarrow{AB}\right|=3，∣BC→∣=4\left|\overrightarrow{BC}\right|=4，∣CA→∣=5\left|\overrightarrow{CA}\right|=5，则 AB→⋅BC→+BC→⋅CA→+CA→⋅AB→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB} 的值等于______.

2004 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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04平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(3,4)\boldsymbol{a} = (3, 4)，b=(sin⁡α,cos⁡α)\boldsymbol{b} = (\sin \alpha, \cos \alpha)，且 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 tan⁡α=\tan \alpha =（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
−34-\frac{3}{4}
C.
43\frac{4}{3}
D.
−43-\frac{4}{3}

2004 · 浙江 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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