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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(1,−1)\boldsymbol{b}=(1,-1)，若 (a+λb)⊥(a+μb)(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})，则（ ）
A.
λ+μ=1\lambda+\mu=1
B.
λ+μ=−1\lambda+\mu=-1
C.
λμ=1\lambda\mu=1
D.
λμ=−1\lambda\mu=-1

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 ABAB 上，BD=2DABD=2DA. 记 CA→=m\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}，CD→=n\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}，则 CB→=\overrightarrow{CB}=（ ）
A.
3m−2n3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}
B.
−2m+3n-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}
C.
3m+2n3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}
D.
2m+3n2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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14平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为单位向量，且 ∣a+b∣=1\left\lvert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right\rvert=1，则 ∣a−b∣=‾\left\lvert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right\rvert=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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07平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\frac14\overrightarrow{AB}-\frac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\frac34\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过点 (−2,0)(-2,0) 且斜率为 23\frac23 的直线与 CC 交于 MM，NN 两点，则 FM→⋅FN→=\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}-\dfrac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}-\dfrac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=2AB=2，AC=3AC=3，AB→⋅BC→=1\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1，则 BC=BC=（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
7\sqrt{7}
C.
222\sqrt{2}
D.
23\sqrt{23}

2012 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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15平面向量★★☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，AP⊥BDAP \perp BD，垂足为 PP，且 AP=3AP = 3，则 AP→⋅AC→=\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
在边长为 1 的正三角形 ABCABC 中，设 BC→=2BD→\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD}，CA→=3CE→\overrightarrow{CA} = 3\overrightarrow{CE}，则 AD→⋅BE→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BE} =______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=25|\boldsymbol{a}| = 2\sqrt{5}，b=(2,1)\boldsymbol{b} = (2, 1)，且 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的方向相反，则 a\boldsymbol{a} 的坐标为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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06平面向量★★☆☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|，(2a+b)⋅b=0(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
30∘30^{\circ}
B.
60∘60^{\circ}
C.
120∘120^{\circ}
D.
150∘150^{\circ}

2010 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
对于非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，“a+b=0\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = 0”是“a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
DD，EE，FF 分别是 △ABC\triangle ABC 的边 ABAB，BCBC，CACA 的中点，则（ ）
A.
AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BE} +\overrightarrow{CF} = 0
B.
BD→−CF→+DF→=0\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{CF} +\overrightarrow{DF} = 0
C.
AD→+CE→−CF→=0\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{CE} -\overrightarrow{CF} = 0
D.
BD→−BE→−FC→=0\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{BE} -\overrightarrow{FC} = 0

2009 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
设 DD，EE，FF 分别是 △ABC\triangle ABC 的三边 BCBC，CACA，ABAB 上的点，且 DC→=2BD→\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{BD}，CE→=2EA→\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EA}，AF→=2FB→\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{FB}，则 AD→+BE→+CF→\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} 与 BC→\overrightarrow{BC}（ ）
A.
反向平行
B.
同向平行
C.
互相垂直
D.
既不平行也不垂直

2008 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB = 3，AC=2AC = 2，BC=10BC = \sqrt{10}，则 AB→⋅AC→=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =（ ）
\begin{solution} 由余弦定理，
BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos⁡ABC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A
代入 BC=10BC=\sqrt{10}，AB=3AB=3，AC=2AC=2，得 10=9+4−12cos⁡A10=9+4-12\cos A，所以 cos⁡A=14\cos A=\frac14. 因而
AB→⋅AC→=∣AB∣ ∣AC∣cos⁡A=3⋅2⋅14=32\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB|\,|AC|\cos A =3\cdot2\cdot\frac14=\frac32
故选 D. \end{solution}
A.
−32-\frac{3}{2}
B.
−23-\frac{2}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
32\frac{3}{2}

2008 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量，若函数 f(x)=(xa+b)⋅(a−xb)f(x) = (x\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - x\boldsymbol{b}) 的图象是一条直线，则必有（ ）
A.
a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
B.
a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}
C.
∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|
D.
∣a∣≠∣b∣|\boldsymbol{a}| \neq |\boldsymbol{b}|

2007 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
已知直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=3|AB| = \sqrt{3}，则 OA→⋅OB→=\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} =______.
\begin{answer} −12-\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设 θ=∠AOB\theta=\angle AOB. 由 ∣OA∣=∣OB∣=1|OA|=|OB|=1 及弦长公式，
∣AB∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2∣OA∣∣OB∣cos⁡θ=2−2cos⁡θ|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2-2|OA||OB|\cos\theta=2-2\cos\theta
代入 ∣AB∣2=3|AB|^2=3，得 cos⁡θ=−12\cos\theta=-\frac12. 因此
OA→⋅OB→=∣OA∣∣OB∣cos⁡θ=−12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|OA||OB|\cos\theta=-\frac12
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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09平面向量★★☆☆☆
PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面上一点，若 PA→⋅PB→=PB→⋅PC→=PC→⋅PA→\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA}，则 PP 是 △ABC\triangle ABC 的（ ）
A.
外心
B.
内心
C.
重心
D.
垂心

2005 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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