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025分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 不共线，且 2a+yb=xa−3b2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}，则（ ）
A.
x=2x=2，y=−3y=-3
B.
x=−2x=-2，y=3y=3
C.
x=2x=2，y=3y=3
D.
x=−2x=-2，y=−3y=-3

2026 · 全国 · 一卷 · 第 2 题 · 选择题

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065分平面向量★★☆☆☆
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反. 图1给出了部分风力等级，名称与风速大小的对应关系. 已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s\mathrm{m/s}），则该时刻的真风为（ ）
A.
轻风
B.
微风
C.
和风
D.
劲风

2025 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(1,−1)\boldsymbol{b}=(1,-1)，若 (a+λb)⊥(a+μb)(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})，则（ ）
A.
λ+μ=1\lambda+\mu=1
B.
λ+μ=−1\lambda+\mu=-1
C.
λμ=1\lambda\mu=1
D.
λμ=−1\lambda\mu=-1

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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035分平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 ABAB 上，BD=2DABD=2DA. 记 CA→=m\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}，CD→=n\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}，则 CB→=\overrightarrow{CB}=（ ）
A.
3m−2n3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}
B.
−2m+3n-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}
C.
3m+2n3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}
D.
2m+3n2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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14平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为单位向量，且 ∣a+b∣=1\left\lvert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right\rvert=1，则 ∣a−b∣=‾\left\lvert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right\rvert=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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07平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=2∣b∣|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|，且 (a−b)⊥b(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
π6\dfrac{\pi}{6}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
2π3\dfrac{2\pi}{3}
D.
5π6\dfrac{5\pi}{6}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\frac14\overrightarrow{AB}-\frac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\frac34\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过点 (−2,0)(-2,0) 且斜率为 23\frac23 的直线与 CC 交于 MM，NN 两点，则 FM→⋅FN→=\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=（ ）
A.
55
B.
66
C.
77
D.
88

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，ADAD 为 BCBC 边上的中线，EE 为 ADAD 的中点，则 EB→=\overrightarrow{EB}=（ ）
A.
34AB→−14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}-\dfrac14\overrightarrow{AC}
B.
14AB→−34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}-\dfrac34\overrightarrow{AC}
C.
34AB→+14AC→\dfrac34\overrightarrow{AB}+\dfrac14\overrightarrow{AC}
D.
14AB→+34AC→\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
在下列向量组中，可以把向量 a=(3,2)\boldsymbol{a} = (3, 2) 表示出来的是（ ）
A.
e1=(0,0),e2=(1,2)\boldsymbol{e}_1 = (0,0), \boldsymbol{e}_2 = (1,2)
B.
e1=(−1,2)\boldsymbol{e}_1 = (-1,2)，e2=(5,−2)\boldsymbol{e}_2 = (5, -2)
C.
e1=(3,5)\boldsymbol{e}_1 = (3,5)，e2=(6,10)\boldsymbol{e}_2 = (6,10)
D.
e1=(2,−3)\boldsymbol{e}_1 = (2, -3)，e2=(−2,3)\boldsymbol{e}_2 = (-2, 3)

2014 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵 AA 的逆矩阵
A−1=(2112)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
.
(1) 求矩阵 AA； (2) 求矩阵 A−1A^{-1} 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

2014 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10平面向量★★☆☆☆
设 MM 为平行四边形 ABCDABCD 对角线交的点，OO 为平行四边形 ABCDABCD 所在平面内任意一点，则 OA→+OB→+OC→+OD→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} 等于（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设各点的位置向量均以 OO 为起点. 平行四边形的对角线互相平分，所以 OA→+OC→=2OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}，且 OB→+OD→=2OM→\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OM}. 两式相加得 OA→+OB→+OC→+OD→=4OM→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OM}. 因此选 D. \end{solution}
A.
OM→\overrightarrow{OM}
B.
2OM→2\overrightarrow{OM}
C.
3OM→3\overrightarrow{OM}
D.
4OM→4\overrightarrow{OM}

2014 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−4,2)\overrightarrow{BD} = (-4, 2)，则该四边形的面积为（ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
252\sqrt{5}
C.
5
D.
10

2013 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
若向量 a=(x,3)\boldsymbol{a} = (x, 3) （x∈Rx \in \mathbf{R}），则 x=4x = 4 是 ∣a∣=5\lvert\boldsymbol{a}\rvert = 5 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
M=(2−31−1)M = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
所对应的线性变换把点 A(x,y)A(x, y) 变成点 A′(13,5)A'(13, 5)，试求 MM 的逆矩阵及点 AA 的坐标.
\begin{solution} 矩阵MM的行列式为 det⁡M=2×(−1)−(−3)×1=1≠0\det M=2\times(-1)-(-3)\times1=1\neq0，所以MM可逆，且
M−1=1det⁡M(−13−12)=(−13−12)M^{-1}=\frac{1}{\det M}\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}
由线性变换关系
M(xy)=(135)M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}
得
(xy)=M−1(135)=(−13−12)(135)=(2−3)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}
因此A=(2,−3)A=(2,-3). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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04平面向量★★☆☆☆
对于向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 和实数 λ\lambda，下列命题中真命题的是（ ）
A.
若 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 a=0\boldsymbol{a} = 0 或 b=0\boldsymbol{b} = 0
B.
若 λa=0\lambda\boldsymbol{a} = 0，则 λ=0\lambda = 0 或 a=0\boldsymbol{a} = 0
C.
若 a2=b2\boldsymbol{a}^2 = \boldsymbol{b}^2，则 a=b\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} 或 a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}
D.
若 a⋅b=a⋅c\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}，则 b=c\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}

2007 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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09平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 120∘120^{\circ}，∣a∣=3\left|\boldsymbol{a}\right| = 3，∣a+b∣=13\left|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right| = \sqrt{13}，则 ∣b∣\left|\boldsymbol{b}\right| 等于（ ）
A.
55
B.
44
C.
33
D.
11

2006 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^{\circ}，AB→=(k,1)\overrightarrow{AB} = (k, 1)，AC→=(2,3)\overrightarrow{AC} = (2, 3)，则 kk 的值是（ ）
A.
55
B.
−5-5
C.
32\frac{3}{2}
D.
−32-\frac{3}{2}

2005 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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14平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=90∘\angle C = 90^{\circ}，AB→=(k,1)\overrightarrow{AB} = (k,1)，AC→=(2,3)\overrightarrow{AC} = (2,3)，则 kk 的值是______.

2005 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08平面向量★★☆☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量，且满足 (a−2b)⊥a(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}，(b−2a)⊥b(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角是（\quad）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2004 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量且满足 (a−2b)⊥a(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a}，(b−2a)⊥b(\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a}) \perp \boldsymbol{b}，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角是（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2004 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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