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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=1\left| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right|=1，∣a−b∣=3\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|=\sqrt{3}，则 a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
13\frac{1}{3}
C.
−13-\frac{1}{3}
D.
−12-\frac{1}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 3 题 · 选择题

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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣a+2b∣=2|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=2，且 (b−2a)⊥b(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp \boldsymbol{b}，则 ∣b∣=|\boldsymbol{b}|=（ ）
A.
12\frac12
B.
22\frac{\sqrt2}{2}
C.
32\frac{\sqrt3}{2}
D.
11

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 3 题 · 选择题

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135分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=3|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt3，∣a+b∣=∣2a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}|=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 13 题 · 填空题

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045分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(3,4)\boldsymbol{a}=(3,4)，b=(1,0)\boldsymbol{b}=(1,0)，c=a+tb\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}，若 ⟨a,c⟩=⟨b,c⟩\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle \boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle，则 t=t=（ ）
A.
−6-6
B.
−5-5
C.
5
D.
6

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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155分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a+b+c=\bs0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\bs 0，∣a∣=1\left| \boldsymbol{a} \right|=1，∣b∣=∣c∣=2\left| \boldsymbol{b} \right|=\left| \boldsymbol{c} \right|=2，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a=‾\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −92-\frac{9}{2} \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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05平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^\circ，则在下列向量中，与 b\boldsymbol{b} 垂直的是（ ）
A.
a+2b\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}
B.
2a+b2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}
C.
a−2b\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}
D.
2a−b2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知 AB→=(2,3)\overrightarrow{AB}=(2,3)，AC→=(3,t)\overrightarrow{AC}=(3,t)，∣BC→∣=1|\overrightarrow{BC}|=1，则 AB→⋅BC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=（ ）
A.
−3-3
B.
−2-2
C.
22
D.
33

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
若非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=223∣b∣\left|\boldsymbol{a}\right|=\frac{2\sqrt{2}}{3}\left|\boldsymbol{b}\right|，且 (a−b)⊥(3a+2b)(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，并记 ∣b∣=m>0\left|\boldsymbol{b}\right|=m>0. 由已知
∣a∣2=89m2\left|\boldsymbol{a}\right|^2=\frac89m^2
又由垂直条件，
0=(a−b)⋅(3a+2b)=3∣a∣2−a⋅b−2∣b∣20=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=3\left|\boldsymbol{a}\right|^2-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-2\left|\boldsymbol{b}\right|^2
所以
a⋅b=3×89m2−2m2=23m2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3\times\frac89m^2-2m^2=\frac23m^2
于是
cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣=23m2223m2=22\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}=\frac{\frac23m^2}{\frac{2\sqrt2}{3}m^2}=\frac{\sqrt2}{2}
因为 0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi，故 θ=π4\theta=\frac\pi4，答案为 A. \end{solution}
A.
π4\frac{\pi}{4}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
3π4\frac{3\pi}{4}
D.
π\pi

2015 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
已知非零向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣b∣=4∣a∣\left|\boldsymbol{b}\right| = 4\left|\boldsymbol{a}\right|，且 a⊥(2a+b)\boldsymbol{a} \perp (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
A.
π3\frac{\pi}{3}
B.
π2\frac{\pi}{2}
C.
2π3\frac{2\pi}{3}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2015 · 重庆 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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14平面向量★★☆☆☆
在 OAOA 为边，OBOB 为对角线的矩形中，已知 OA→=(−3,1)\overrightarrow{OA} = (-3, 1)，OB→=(−2,k)\overrightarrow{OB} = (-2, k)，则实数 k=k =______. \begin{answer} 44 \end{answer} \begin{solution} 矩形中 OA⊥ABOA\perp AB，且
AB→=OB→−OA→=(1,k−1)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,k-1)
因此
OA→⋅AB→=(−3,1)⋅(1,k−1)=−3+k−1=0\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} =(-3,1)\cdot(1,k-1)=-3+k-1=0
解得 k=4k=4. \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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06平面向量★★☆☆☆
设 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，向量 a=(x,1)\boldsymbol{a} = (x, 1)，b=(1,y)\boldsymbol{b} = (1, y)，c=(2,−4)\boldsymbol{c} = (2, -4)，且 a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，b∥c\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{c}，则 ∣a+b∣=|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| =（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由 a⊥c\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}，得 a⋅c=2x−4=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2x-4=0，x=2x=2 由 b∥c\boldsymbol{b}\parallel\boldsymbol{c}，得 (1,y)=λ(2,−4)(1,y)=\lambda(2,-4). 由第一坐标 λ=12\lambda=\frac12，所以 y=−2y=-2. 因而 a=(2,1)\boldsymbol{a}=(2,1)，b=(1,−2)\boldsymbol{b}=(1,-2)，从而 a+b=(3,−1)\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,-1)，∣a+b∣=32+(−1)2=10|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}， 故选 B. \end{solution}
A.
5\sqrt{5}
B.
10\sqrt{10}
C.
252\sqrt{5}
D.
1010

2012 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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12平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 e1e_1，e2e_2 的夹角为 60∘60^\circ，则 ∣2e1−e2∣=‾|2e_1 - e_2| =\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}
\begin{solution} 由 e1e_1，e2e_2 是单位向量且夹角为 60∘60^\circ，得 e1⋅e2=cos⁡60∘=12e_1\cdot e_2=\cos60^\circ=\frac{1}{2}. 因此 ∣2e1−e2∣2=4∣e1∣2+∣e2∣2−4e1⋅e2=4+1−4⋅12=3\lvert2e_1-e_2\rvert^2=4\lvert e_1\rvert^2+\lvert e_2\rvert^2-4e_1\cdot e_2=4+1-4\cdot\frac{1}{2}=3，从而 ∣2e1−e2∣=3\lvert2e_1-e_2\rvert=\sqrt{3}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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05平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,k)\boldsymbol{a} = (1, k)，b=(2,2)\boldsymbol{b} = (2, 2)，且 a+b\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 与 a\boldsymbol{a} 共线，那么 a⋅b\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 的值为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2011 · 重庆 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=6|\boldsymbol{b}| = 6，a⋅(b−a)=2\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = 2，则向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由条件
a⋅(b−a)=a⋅b−∣a∣2=2\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-|\boldsymbol{a}|^{2}=2
得 a⋅b=3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3. 设 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 θ\theta，则
cos⁡θ=a⋅b∣a∣∣b∣=31×6=12\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} =\frac{3}{1\times6}=\frac12
由于 0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi，所以 θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}，选 C. \end{solution}
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2009 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,1)\boldsymbol{a}=(1,1)，b=(2,x)\boldsymbol{b}=(2,x). 若 a+b\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} 与 4b−2a4\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a} 平行，则实数 xx 的值是（ ）
A.
−2-2
B.
00
C.
11
D.
22

2009 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
若点 PP 分有向线段 AB→\overrightarrow{AB} 所成的比为 −13-\frac{1}{3}，则点 BB 分有向线段 PA→\overrightarrow{PA} 所成的比是（ ）
A.
−32-\frac{3}{2}
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
33

2008 · 重庆 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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09平面向量★★☆☆☆
已知向量 OA→=(4,6)\overrightarrow{OA} = (4,6)，OB→=(3,5)\overrightarrow{OB} = (3,5)，且 OC→⊥OA→\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{OA}，AC→∥OB→\overrightarrow{AC} \parallel \overrightarrow{OB}，则向量 OC→=\overrightarrow{OC} =（\quad）
A.
(−37,27)\left(-\frac{3}{7},\frac{2}{7}\right)
B.
(−27,421)\left(-\frac{2}{7},\frac{4}{21}\right)
C.
(37,−27)\left(\frac{3}{7}, -\frac{2}{7}\right)
D.
(27,−421)\left(\frac{2}{7}, -\frac{4}{21}\right)

2007 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
已知三点 A(2,3)A(2,3)，B(−1,−1)B(-1,-1)，C(6,k)C(6,k). 其中 kk 为常数. 若 ∣AB∣=∣AC∣\left|AB\right| = \left|AC\right|，则 AB→\overrightarrow{AB} 与 AC→\overrightarrow{AC} 的夹角为（ ）
A.
arccos⁡(−2425)\arccos \left(-\frac{24}{25}\right)
B.
π2\frac{\pi}{2} 或 arccos⁡2425\arccos \frac{24}{25}
C.
arccos⁡2425\arccos \frac{24}{25}
D.
π2\frac{\pi}{2} 或 π−arccos⁡2425\pi -\arccos \frac{24}{25}

2006 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
已知 A(3,1)A(3,1)， B(6,1)B(6,1)， C(4,3)C(4,3)，DD 为线段 BCBC 的中点，则向量 AC→\overrightarrow{AC} 与 DA→\overrightarrow{DA} 的夹角为（ ）
A.
π2−arccos⁡45\frac{\pi}{2} - \arccos \frac{4}{5}
B.
arccos⁡45\arccos \frac{4}{5}
C.
arccos⁡(−45)\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)
D.
−arccos⁡(−45)-\arccos \left(-\frac{4}{5}\right)

2005 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，∣b∣=4\left|\boldsymbol{b}\right|=4，(a+2b)⋅(a−3b)=−72\left(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\right)\cdot\left(\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}\right)=-72，则向量 a\boldsymbol{a} 的模为（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
1212

2004 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，∣b∣=4\left|\boldsymbol{b}\right| = 4，(a+2b)⋅(a−3b)=−72\left(\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}\right) \cdot \left(\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}\right) = -72，则向量 a\boldsymbol{a} 的模为（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
1212

2004 · 重庆 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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