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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=1\left| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right|=1，∣a−b∣=3\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|=\sqrt{3}，则 a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
13\frac{1}{3}
C.
−13-\frac{1}{3}
D.
−12-\frac{1}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 3 题 · 选择题

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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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09平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(x+1,x)\boldsymbol{a}=(x+1,x)，b=(x,2)\boldsymbol{b}=(x,2)，则（ ）
A.
“x=−3x=-3”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的必要条件
B.
“x=1+3x=1+\sqrt{3}”是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的必要条件
C.
“x=0x=0”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的充分条件
D.
“x=−1+3x=-1+\sqrt{3}”是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的充分条件

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
设向量 a=(x+1,x)\boldsymbol{a}=(x+1,x)，b=(x,2)\boldsymbol{b}=(x,2)，c=(1,1)\boldsymbol{c}=(1,1)，若 a−2b\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b} 与 c\boldsymbol{c} 共线，则 x=x=（ ）
A.
52\dfrac52
B.
12\dfrac12
C.
−12-\dfrac12
D.
−52-\dfrac52

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22，EE 为 ABAB 的中点，则 EC→⋅ED→=\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
5\sqrt5
B.
33
C.
252\sqrt5
D.
55

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=1|\boldsymbol{a}|=1，∣b∣=3|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}，∣a−2b∣=3|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|=3，则 a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
22

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^\circ，则在下列向量中，与 b\boldsymbol{b} 垂直的是（ ）
A.
a+2b\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}
B.
2a+b2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}
C.
a−2b\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}
D.
2a−b2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
已知 AB→=(2,3)\overrightarrow{AB}=(2,3)，AC→=(3,t)\overrightarrow{AC}=(3,t)，∣BC→∣=1|\overrightarrow{BC}|=1，则 AB→⋅BC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=（ ）
A.
−3-3
B.
−2-2
C.
22
D.
33

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
对任意向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A.
∣a⋅b∣⩽∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|
B.
∣a−b∣⩽∣∣a∣−∣b∣∣|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \leqslant ||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}||
C.
(a+b)2=∣a+b∣2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2
D.
(a+b)⋅(a−b)=a2−b2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^2 - \boldsymbol{b}^2

2015 · 陕西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
对任意向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A.
∣a⋅b∣⩽∣a∣∣b∣|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|
B.
∣a−b∣⩽∣∣a∣−∣b∣∣|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \leqslant ||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}||
C.
(a+b)2=∣a+b∣2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2
D.
(a+b)⋅(a−b)=a2−b2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^2 - \boldsymbol{b}^2

2015 · 陕西 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
设 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}，向量 a=(sin⁡2θ,cos⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)，b=(cos⁡θ,1)\boldsymbol{b} = (\cos \theta, 1)，若 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 tan⁡θ=\tan \theta =______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}，向量 a=(sin⁡2θ,cos⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)，b=(1,−cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, -\cos \theta)，若 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 tan⁡θ=\tan \theta =______. \begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer} \begin{solution} 由向量数量积为零，得 a⋅b=sin⁡2θ−cos⁡2θ=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sin 2\theta-\cos^2\theta=0. 利用 sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta，有 cos⁡θ(2sin⁡θ−cos⁡θ)=0\cos\theta(2\sin\theta-\cos\theta)=0. 因为 0<θ<π20<\theta<\frac\pi2，所以 cos⁡θ>0\cos\theta>0，从而 2sin⁡θ=cos⁡θ2\sin\theta=\cos\theta，即 tan⁡θ=12\tan\theta=\frac12. \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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03平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为向量，则 ∣a⋅b∣=∣a∣∣b∣\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right| 是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 若 a\boldsymbol{a} 或 b\boldsymbol{b} 是零向量，则两向量平行，且等式两边都为 00. 若两向量都不是零向量，设它们的夹角为 θ\theta，则 ∣a⋅b∣=∣a∣∣b∣∣cos⁡θ∣\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\left|\cos\theta\right|，所以题设等式成立当且仅当 ∣cos⁡θ∣=1\left|\cos\theta\right|=1，即 θ=0\theta=0 或 π\pi，这也等价于 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}. 因而二者互为充分必要条件，故选 C. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2013 · 陕西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
设向量 a=(1,cos⁡θ)\boldsymbol{a} = (1, \cos \theta) 与 b=(−1,2cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (-1, 2 \cos \theta) 垂直，则 cos⁡2θ\cos 2\theta 等于（ ）
A.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
B.
12\frac{1}{2}
C.
0
D.
−1-1

2012 · 陕西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，MM 是 BCBC 的中点，AM=1AM = 1，点 PP 在 AMAM 上且满足 AP→=2PM→\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PM}，则 PA→⋅(PB→+PC→)\overrightarrow{PA} \cdot \left(\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}\right) 等于（ ）
A.
−49-\frac{4}{9}
B.
−43-\frac{4}{3}
C.
43\frac{4}{3}
D.
49\frac{4}{9}

2009 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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