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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=3|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt3，∣a+b∣=∣2a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}|=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a+b+c=\bs0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\bs 0，∣a∣=1\left| \boldsymbol{a} \right|=1，∣b∣=∣c∣=2\left| \boldsymbol{b} \right|=\left| \boldsymbol{c} \right|=2，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a=‾\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −92-\frac{9}{2} \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣=3|\boldsymbol{a}|=3，∣a−b∣=5|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=5，a⋅b=1\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}|=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 11，则 (a+b)⋅c=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=______；a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=______.

2021 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为单位向量，且 ∣a+b∣=1\left\lvert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right\rvert=1，则 ∣a−b∣=‾\left\lvert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right\rvert=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22，点 PP 满足 AP→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AP}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)，则 ∣PD→∣=‾\left|\overrightarrow{PD}\right|=\underline{\hspace{2em}}；PB→⋅PD→=‾\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 北京 · 第 13 题 · 填空题

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09平面向量★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 中，DD 是 BCBC 中点，AB=2AB=2，BC=3BC=3，AC=4AC=4，则 AD→⋅AB→=‾\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
在四边形 ABCDABCD 中，AD//BCAD//BC，∣AB∣=23|AB|=2\sqrt3，∣AD∣=5|AD|=5，∠A=30∘\angle A=30^\circ，点 EE 在线段 CBCB 的延长线上，且 AE=BEAE=BE，则 BD→⋅AE→=‾\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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03平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(1,0,2)\boldsymbol{a}=(1,0,2)，b=(2,1,0)\boldsymbol{b}=(2,1,0)，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为______.

2019 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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09解析几何★★☆☆☆
过 y2=4xy^2=4x 的焦点 FF 并垂直于 xx 轴的直线分别与 y2=4xy^2=4x 交于 AA，BB，AA 在 BB 上方，MM 为抛物线上一点，OM→=λOA→+(λ−2)OB→\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+(\lambda-2)\overrightarrow{OB}，则 λ=\lambda=______.

2019 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^\circ，∣a∣=2\lvert\boldsymbol{a}\rvert=2，∣b∣=1\lvert\boldsymbol{b}\rvert=1，则 ∣a+2b∣=‾\lvert\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}\rvert=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知点 PP 在圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 上，点 AA 的坐标为 (−2,0)(-2,0)，OO 为原点，则 AO→⋅AP→\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AP} 的最大值为______.

2017 · 北京 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知 e1\boldsymbol{e}_1，e2\boldsymbol{e}_2 是互相垂直的单位向量，若 3 e1−e2\sqrt3\,\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2 与 e1+λe2\boldsymbol{e}_1+\lambda\boldsymbol{e}_2 的夹角为 60∘60^\circ，则实数 λ\lambda 的值是______.

2017 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 MM，NN 满足 AM→=2MC→\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MC}，BN→=NC→\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC}. 若 MN→=xAB→+yAC→\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}，则 x=x =______；y=y =______.
\begin{answer} x=12x=\dfrac{1}{2}，y=−16y=-\dfrac{1}{6} \end{answer}
\begin{solution} 由 AM→=2MC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}，得 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}. 又由 BN→=NC→\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}，得 NN 是 BCBC 的中点. 以 AA 为起点，用 AB→\overrightarrow{AB}、AC→\overrightarrow{AC} 表示位置向量，则 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AC}，AN→=AB→+12BC→=12AB→+12AC→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC} =\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}. 于是
MN→=AN→−AM→=12AB→−16AC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} =\frac12\overrightarrow{AB}-\frac16\overrightarrow{AC}
故 x=12x=\dfrac12，y=−16y=-\dfrac16. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
在等腰梯形 ABCDABCD 中，已知 AB∥DCAB \parallel DC，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. 点 EE 和 FF 分别在线段 BCBC 和 DCDC 上，且 BE→=23BC→\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}，DF→=16DC→\overrightarrow{DF} = \frac{1}{6} \overrightarrow{DC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的值为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 e1\boldsymbol{e}_1 与 e2\boldsymbol{e}_2 的夹角为 α\alpha，且 cos⁡α=13\cos \alpha = \frac{1}{3}，向量 a=3e1−2e2\boldsymbol{a} = 3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2 与 b=3e1−e2\boldsymbol{b} = 3\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2 的夹角为 β\beta，则 cos⁡β=\cos \beta =______.

2014 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
已知单位向量 e1\boldsymbol{e}_1 与 e2\boldsymbol{e}_2 的夹角为 α\alpha，且 cos⁡α=13\cos \alpha = \frac{1}{3}，向量 a=3e1−2e2\boldsymbol{a} = 3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}| =______.

2014 · 江西 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB→⋅AC→=tan⁡A\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \tan A，当 A=π6A = \frac{\pi}{6} 时，△ABC\triangle ABC 的面积为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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11平面向量★★☆☆☆
设向量 a=(3,3)\boldsymbol{a} = (3, 3)，b=(1,−1)\boldsymbol{b} = (1, -1)，若 (a+λb)⊥(a−λb)(\boldsymbol{a} + \lambda \boldsymbol{b}) \perp (\boldsymbol{a} - \lambda \boldsymbol{b})，则实数 λ=\lambda =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}，向量 a=(sin⁡2θ,cos⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)，b=(cos⁡θ,1)\boldsymbol{b} = (\cos \theta, 1)，若 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，则 tan⁡θ=\tan \theta =______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
设 0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}，向量 a=(sin⁡2θ,cos⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)，b=(1,−cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, -\cos \theta)，若 a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，则 tan⁡θ=\tan \theta =______. \begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer} \begin{solution} 由向量数量积为零，得 a⋅b=sin⁡2θ−cos⁡2θ=0\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sin 2\theta-\cos^2\theta=0. 利用 sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta，有 cos⁡θ(2sin⁡θ−cos⁡θ)=0\cos\theta(2\sin\theta-\cos\theta)=0. 因为 0<θ<π20<\theta<\frac\pi2，所以 cos⁡θ>0\cos\theta>0，从而 2sin⁡θ=cos⁡θ2\sin\theta=\cos\theta，即 tan⁡θ=12\tan\theta=\frac12. \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知两个单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，c=ta+(1−t)b\boldsymbol{c} = t\boldsymbol{a} + (1 - t)\boldsymbol{b}，若 b⋅c=0\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = 0，则 t=‾t =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
已知两个单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，c=ta+(1−t)b\boldsymbol{c} = t\boldsymbol{a} + (1 - t)\boldsymbol{b}，若 b⋅c=0\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = 0，则 t=t =______.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的边长为 22，EE 为 CDCD 的中点，则 AE→⋅BD→=\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BD} =______.

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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