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21平面向量★★☆☆☆
平面上点 A(2,−1)A(2,-1) 在矩阵
M=[a1−1b]M=\begin{bmatrix}a&1\\-1&b\end{bmatrix}
对应的变换作用下得到点 B(3,−4)B(3,-4).
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求矩阵 MM 的逆矩阵 M−1M^{-1}.

2020 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=(3122)A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 A2A^2； (2) 求矩阵 AA 的特征值.

2019 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 a2+b2=4a^2+b^2=4，c2+d2=16c^2+d^2=16，证明 ac+bd≤8ac+bd\le 8.

2017 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=[120−2]A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\end{bmatrix}
，矩阵 BB 的逆矩阵
B−1=[1−1202]B^{-1}=\begin{bmatrix}1&-\dfrac12\\0&2\end{bmatrix}
，求矩阵 ABAB.

2016 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，向量
α=[1−1]\alpha = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
是矩阵
A=[x1y0]A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ y & 0 \end{bmatrix}
的属于特征值 −2-2 的一个特征向量，求矩阵 AA 以及它的另一个特征值.

2015 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 m=(22,−22)\boldsymbol{m} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，n=(sin⁡x,cos⁡x)\boldsymbol{n} = (\sin x, \cos x)，x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 若 m⊥n\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}，求 tan⁡x\tan x 的值； (2) 若 m\boldsymbol{m} 与 n\boldsymbol{n} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，求 xx 的值.

2015 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵 AA 的逆矩阵
A−1=(2112)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
.
(1) 求矩阵 AA； (2) 求矩阵 A−1A^{-1} 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

2014 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=[1121]A=\begin{bmatrix}1&1\\ 2&1\end{bmatrix}
，向量
β=[12]\boldsymbol{\beta}=\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}
，求向量 α\boldsymbol{\alpha}，使得 A2α=βA^{2}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}.

2011 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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15平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(−1,−2)A(-1,-2)，B(2,3)B(2,3)，C(−2,−1)C(-2,-1).
(1) 求以线段 ABAB，ACAC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2) 设实数 tt 满足 (AB→−tOC→)⋅OC→=0\left(\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{OC}\right)\cdot \overrightarrow{OC}=0，求 tt 的值.

2010 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
M=(2−31−1)M = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
所对应的线性变换把点 A(x,y)A(x, y) 变成点 A′(13,5)A'(13, 5)，试求 MM 的逆矩阵及点 AA 的坐标.
\begin{solution} 矩阵MM的行列式为 det⁡M=2×(−1)−(−3)×1=1≠0\det M=2\times(-1)-(-3)\times1=1\neq0，所以MM可逆，且
M−1=1det⁡M(−13−12)=(−13−12)M^{-1}=\frac{1}{\det M}\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}
由线性变换关系
M(xy)=(135)M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}
得
(xy)=M−1(135)=(−13−12)(135)=(2−3)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}
因此A=(2,−3)A=(2,-3). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(sin⁡θ,−2)\boldsymbol{a} = (\sin\theta, -2) 与 b=(1,cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, \cos\theta) 互相垂直，其中 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 求 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 的值； (2) 若 5cos⁡(θ−φ)=35cos⁡φ5\cos(\theta - \varphi) = 3\sqrt{5}\cos\varphi，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}，求 cos⁡φ\cos\varphi 的值.

2009 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)A(3,4)，B(0,0)B(0,0)，C(c,0)C(c,0).
(1) 若 c=5c = 5，求 sin⁡∠A\sin \angle A 的值； (2) 若 ∠A\angle A 是钝角，求 cc 的取值范围.

2007 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)A(3,4)，B(0,0)B(0,0)，C(c,0)C(c,0).
(1) 若 AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0，求 cc 的值； (2) 若 c=5c = 5，求 sin⁡∠A\sin \angle A 的值.

2007 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17平面向量★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 P(2cos⁡x+1,2cos⁡2x+2)P(2\cos x+1, 2\cos 2x+2) 和点 Q(cos⁡x,−1)Q(\cos x,-1)，其中 x∈[0,π]x \in [0,\pi]. 若向量 OP→\overrightarrow{OP} 与 OQ→\overrightarrow{OQ} 垂直，求 xx 的值.

2004 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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26平面向量★★☆☆☆
如图，在空间直角坐标系中，BC=2BC=2，原点 OO 是 BCBC 的中点，点 AA 的坐标是 (32,12,0)\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)，点 DD 在平面 yozyoz 上，且 ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ，∠DCB=30∘\angle DCB=30^\circ.
(1) 求向量 OD→\overrightarrow{OD} 的坐标； (2) 设向量 AD→\overrightarrow{AD} 和 BC→\overrightarrow{BC} 的夹角为 θ\theta，求 cos⁡θ\cos\theta 的值.

1995 · 上海 · 理 · 第 26 题（B） · 解答题

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26立体几何初步★★☆☆☆
如图，在空间直角坐标系中，BC=2BC=2，原点 OO 是 BCBC 的中点，点 AA 的坐标是 (32,12,0)\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0\right)，点 DD 在平面 yozyoz 上，且 ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ，∠DCB=30∘\angle DCB=30^\circ.
(1) 求向量 OD→\overrightarrow{OD} 的坐标； (2) 设向量 AD→\overrightarrow{AD} 和 BC→\overrightarrow{BC} 的夹角为 θ\theta，求 cos⁡θ\cos\theta 的值.

1995 · 上海 · 文 · 第 26 题（B） · 解答题

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22平面向量★★☆☆☆
已知空间三个点 P(−2,0,2)P(-2,0,2)，Q(−1,1,2)Q(-1,1,2) 和 R(−3,0,4)R(-3,0,4). 设 a=PQ→\boldsymbol{a} = \overrightarrow{PQ}，b=PR→\boldsymbol{b} = \overrightarrow{PR}.
(1) 求 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角 θ\theta（用反三角函数表示）； (2) 试确定实数 kk，使 ka+bk \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} 与 ka−2bk \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} 互相垂直.

1994 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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06解析几何★★☆☆☆
已知正方形 ABCDABCD 的相对顶点 A(0,−1)A(0,-1) 和 C(2,5)C(2,5)，求顶点 BB 和 DD 的坐标.

1981 · 全国 · 文 · 第 6 题 · 解答题

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03平面向量★★☆☆☆
用解析法证明：直径所对的圆周角是直角.

1980 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 解答题

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02解析几何★★☆☆☆
证明：如图，ABAB 是圆 OO 的直径，CBCB 是圆 OO 的切线，切点为 BB，OCOC 平行于弦 ADAD，求证：DCDC 是圆 OO 的切线.

1977 · 河北 · 第 2 题 · 解答题

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08平面向量★★☆☆☆
有两点 A(−2,2)A\left(-2,2\right) 和 B(2,−1)B\left(2,-1\right)，试在 yy 轴上找出点 PP，使 ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ.

1977 · 江苏 · 淮阴地区 · 第 8 题 · 解答题

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10平面向量★★☆☆☆
两根钢绳悬吊货物时，两条钢绳与铅垂线的夹角分别为 α\alpha 和 β\beta，货物的重量为 PP，试用表达式分别写出钢绳所承受的拉力 F1F_1 和 F2F_2.

1977 · 江苏 · 南通地区 · 第 10 题 · 解答题

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07平面向量★★☆☆☆
以任意一点到已知三角形三个顶点连线的中点为顶点作三角形. 所作三角形的面积是已知三角形的几倍？

1977 · 陕西 · 第 7 题 · 解答题

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