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15概率与统计★★☆☆☆
设甲，乙，丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27， 9， 18. 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛.
(1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2) 将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}. 现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛.
(i) 用所给编号列出所有可能的结果； (ii) 设 AA 为事件：“编号为 A5A_{5} 和 A6A_{6} 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 AA 发生的概率.

2015 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15概率与统计★★☆☆☆
某校夏令营有 33 名男同学 AA，BB，CC 和 33 名女同学 XX，YY，ZZ，其年级情况如下表.
现从这 66 名同学中随机选出 22 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）.
(1) 用表中字母列举出所有可能的结果； (2) 设 MM 为事件“选出的 22 人来自不同年级且恰有 11 名男同学和 11 名女同学”，求事件 MM 发生的概率.

2014 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
有编号为 A1A_1，A2A_2，⋯\cdots，A10A_{10} 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm\mathrm{cm}），得到下面数据：
其中直径在区间 [1.48,1.52][1.48,1.52] 内的零件为一等品.
(1) 从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2) 从一等品零件中，随机抽取 2 个.
(i) 用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 个零件直径相等的概率.

2010 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡x(sin⁡x−cos⁡x)+1f(x) = 2\cos x (\sin x - \cos x) + 1，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [π8,3π4]\left[\dfrac{\pi}{8}, \dfrac{3\pi}{4}\right] 上的最小值和最大值.

2007 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是 0.90.9，乙机床产品的正品率是 0.950.95.
(1) 从甲机床生产的产品中任取 33 件，求其中恰有 22 件正品的概率（用数字作答）； (2) 从甲，乙两台机床生产的产品中各任取 11 件，求其中至少有 11 件正品的概率（用数字作答）.

2006 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡(π4+α)=12\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1}{2}.
(1) 求 tan⁡α\tan \alpha 的值； (2) 求 sin⁡2α−cos⁡2α1+cos⁡2α\frac{\sin 2\alpha - \cos^2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} 的值.

2004 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
从 44 名男生和 22 名女生中任选 33 人参加演讲比赛，设随机变量 ξ\xi 表示所选 33 人中女生的人数.
(1) 求 ξ\xi 的分布列； (2) 求 ξ\xi 的数学期望； (3) 求“所选 33 人中女生人数 ξ⩽1\xi \leqslant 1”的概率.

2004 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
从 44 名男生和 22 名女生中任选 33 人参加演讲比赛.
(1) 求所选 33 人都是男生的概率； (2) 求所选 33 人中恰有 11 名女生的概率； (3) 求所选 33 人中至少有 11 名女生的概率.

2004 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是一个公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列，它的前 1010 项和 S10=110S_{10} = 110 且 a1a_{1}，a2a_{2}，a4a_{4} 成等比数列.
(1) 证明 a1=da_1 = d； (2) 求公差 dd 的值和数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2004 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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