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125分解析几何★★☆☆☆
双曲线 5x2−6y2=15x^2-6y^2=1 的离心率为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 12 题 · 填空题

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125分导数及其应用★★☆☆☆
若直线 y=2x+5y = 2x + 5 是曲线 y=ex+x+ay = \mathrm{e}^x + x + a 的一条切线，则 a=a =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分数列★★☆☆☆
若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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135分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=3|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt3，∣a+b∣=∣2a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}|=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 44 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 22，高为 33 的正四棱锥，所得棱台的体积为______.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
过四点 (0,0)(0,0)，(4,0)(4,0)，(−1,1)(-1,1)，(4,2)(4,2) 中的三点的一个圆的方程为______.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 C:x2m−y2=1C:\frac{x^2}{m}-y^2=1（m>0m>0）的一条渐近线为 3x+my=0\sqrt3 x+my=0，则 CC 的焦距为______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
双曲线 x24−y25=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1 的右焦点到直线 x+2y−8=0x+2y-8=0 的距离为______.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0\begin{cases} 2x+y-2\le 0,\\ x-y-1\ge 0,\\ y+1\ge 0 \end{cases}
，则 z=x+7yz=x+7y 的最大值为______.
\begin{answer} 1 \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为单位向量，且 ∣a+b∣=1\left\lvert \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right\rvert=1，则 ∣a−b∣=‾\left\lvert \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right\rvert=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，AA 为 CC 的右顶点，BB 为 CC 上的点，且 BF⊥xBF\perp x 轴. 若 ABAB 的斜率为 33，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,\begin{cases} 2x+y-2\le 0,\\ x-y-1\ge 0,\\ y+1\ge 0, \end{cases}
，则 z=x+7yz=x+7y 的最大值为______.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=ln⁡x+x+1y=\ln x+x+1 的一条切线的斜率为 22，则该切线的方程为______.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=3(x2+x)exy=3(x^2+x)\mathrm{e}^x 在点 (0,0)(0,0) 处的切线方程为______.
\begin{answer} y=3xy=3x \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=13a_1=\dfrac13，a42=a6a_4^2=a_6，则 S5=‾S_5=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1213\dfrac{121}{3} \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=3(x2+x)exy=3(x^2+x)\mathrm{e}^x 在点 (0,0)(0,0) 处的切线方程为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=1a_1=1，S3=34S_3=\dfrac{3}{4}，则 S4=S_4=______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0\begin{cases} x-2y-2\le0,\\ x-y+1\ge0,\\ y\le0 \end{cases}
，则 z=3x+2yz=3x+2y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0\begin{cases} x-2y-2\le0,\\ x-y+1\ge0,\\ y\le0 \end{cases}
，则 z=3x+2yz=3x+2y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
直线 y=x+1y=x+1 与圆 x2+y2+2y−3=0x^2+y^2+2y-3=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB|=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 nn 为______.
\begin{solution} 初始时 a=1a=1，n=1n=1. 第一次判断满足 ∣1−1.414∣=0.414⩾0.005|1-1.414|=0.414\geqslant0.005，更新为 a=1+11+1=1.5a=1+\frac1{1+1}=1.5，n=2n=2. 第二次判断仍满足条件，更新为 a=1+11+1.5=1.4a=1+\frac1{1+1.5}=1.4，n=3n=3. 第三次判断仍满足条件，更新为 a=1+11+1.4=1+512=1712a=1+\frac1{1+1.4}=1+\frac5{12}=\frac{17}{12}，n=4n=4. 此时
∣1712−1.414∣=1712−707500=2750<0.005\left|\frac{17}{12}-1.414\right|=\frac{17}{12}-\frac{707}{500}=\frac2{750}<0.005
条件不成立，程序输出 n=4n=4. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=6AB = \sqrt{6}，∠A=75∘\angle A = 75^{\circ}，∠B=45∘\angle B = 45^{\circ}，则 AC=AC =______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 三角形内角和给出 ∠C=180∘−75∘−45∘=60∘\angle C=180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}. 由正弦定理，
ACsin⁡45∘=ABsin⁡60∘\frac{AC}{\sin45^{\circ}}=\frac{AB}{\sin60^{\circ}}
所以
AC=6sin⁡45∘sin⁡60∘=62232=2AC=\sqrt6\frac{\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}} =\sqrt6\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=2
\end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1}=1，an=an−1+12a_{n}=a_{n-1}+\frac{1}{2}（n⩾2n\geqslant2），则数列 {an}\{a_{n}\} 的前 99 项和等于______.
\begin{answer} 2727 \end{answer}
\begin{solution} 由递推式可知 an−an−1=12a_n-a_{n-1}=\frac12，所以 {an}\{a_n\} 是首项为 11、公差为 12\frac12 的等差数列. 因而
an=1+(n−1)12=n+12a_n=1+(n-1)\frac12=\frac{n+1}{2}
特别地，a9=5a_9=5. 于是前 99 项和为
S9=9(a1+a9)2=9(1+5)2=27S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9(1+5)}{2}=27
\end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若直线 y=2ay = 2a 与函数 y=∣x−a∣−1y = |x - a| - 1 的图象只有一个交点，则 aa 的值为______.
\begin{answer} −12-\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 联立直线与函数图象的方程，得
2a=∣x−a∣−12a=|x-a|-1
即 ∣x−a∣=2a+1|x-a|=2a+1. 若 2a+1>02a+1>0，则 x−a=±(2a+1)x-a=\pm(2a+1)，有两个不同的交点；若 2a+1<02a+1<0，则绝对值方程无解；只有 2a+1=02a+1=0 时，方程有唯一解 x=ax=a. 因此
a=−12a=-\frac12
\end{solution}

2015 · 安徽 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 是等差数列. 若 a1+1a_{1} + 1，a3+3a_{3} + 3，a5+5a_{5} + 5 构成公比为 qq 的等比数列，则 q=‾q =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 设 u=a1+1u=a_{1}+1，v=a3+3v=a_{3}+3，w=a5+5w=a_{5}+5. 由 {an}\{a_n\} 是等差数列，得 a1+a5=2a3a_{1}+a_{5}=2a_{3}，从而 u+w=2vu+w=2v. 又 uu，vv，ww 构成等比数列，故 v2=uwv^{2}=uw. 于是 (u−w)2=(u+w)2−4uw=4v2−4v2=0(u-w)^{2}=(u+w)^{2}-4uw=4v^{2}-4v^{2}=0，所以 u=v=wu=v=w. 因公比定义为后一项与前一项之比，故 q=vu=1q=\dfrac vu=1. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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