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17概率与统计★★☆☆☆

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了

10

件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为

x

y

，样本方差分别记为

s_1^2

s_2^2

x

y

s_1^2

s_2^2

； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

\dfrac{y-x}{\sqrt{\frac{\left( s_1^2+s_2^2 \right)}{10}}}\ge 2

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了

10

件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为

\bar{x}

\bar{y}

，样本方差分别记为

s_1^2

s_2^2

\bar{x}

\bar{y}

s_1^2

s_2^2

； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

\bar{y}-\bar{x}\ge2\sqrt{\dfrac{s_1^2+s_2^2}{10}}

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆

某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费

90

50

20

元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费

50

元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为

25

元/件，乙分厂加工成本费为

20

元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了

100

件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表

(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为

A

级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的

100

件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆

某商场为提高服务质量，随机调查了

50

名男顾客和

50

名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

	满意	不满意
女顾客	30	20

(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有

95\%

的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

$P(K^2\ge k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆

\{a_n\}

a_1=1

na_{n+1}=2(n+1)a_n

b_n=\dfrac{a_n}{n}

b_1

b_2

b_3

； (2) 判断数列

\{b_n\}

是否为等比数列，并说明理由； (3) 求

\{a_n\}

的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆

f(x) = \sin x + \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)

f(x)

的最小值，并求使

f(x)

取得最小值的

x

的集合； (2) 不画图，说明函数

y = f(x)

的图象可由

y = \sin x

的图象经过怎样的变化得到.

2013 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆

为调查甲，乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况. 用简单随机抽样，从这两校中各抽取

30

名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：

(1) 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为

0.05

，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（

60

60

分以上为及格）； (2) 设甲，乙两校高三年级学生这次联考平均成绩分别为

\bar{x}_{1}

\bar{x}_{2}

\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}

\begin{array}{c} \multicolumn{1}{c}{甲} & \ & \multicolumn{1}{c}{乙} \\ \hline $7$ & 4 & $5$ \\ $5\;3\;3\;2$ & 5 & $3\;3\;8$ \\ $5\;5\;4\;3\;3\;3\;1\;0\;0$ & 6 & $0\;0\;0\;1\;1\;2\;2\;3\;3\;5$ \\ $8\;6\;6\;2\;2\;1\;1\;0\;0$ & 7 & $0\;0\;2\;2\;2\;3\;3\;6\;6\;9$ \\ $7\;5\;4\;4\;2$ & 8 & $1\;1\;5\;5\;8$ \\ $2\;0$ & 9 & $0$ \end{array}

2013 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆

若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过

1\mathrm{~mm}

时，则视为合格品，否则视为不合格品. 在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品. 计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：

$[-2,-1)$	8	\fillinblank{}
$(1,2]$	\fillinblank{}	0.50
$(2,3]$	10	\fillinblank{}
$(3,4]$	\fillinblank{}	\fillinblank{}

(1) 将上面表格中缺少的数据补充完整； (2) 估计该厂生产的这种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间

(1,3]

内的概率； (3) 现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 20 件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数.

2012 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20概率与统计★★☆☆☆

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份	$2002$	$2004$	$2006$	$2008$	$2010$

(1) 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程

\hat{y} = bx + a

； (2) 利用（1）中所求出的直线方程预测该地

2012

年的粮食需求量.

2011 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆

2010

4

1

4

30

日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：

61

76

70

56

81

91

92

91

75

81

88

67

101

103

95

91

77

86

81

83

82

82

64

79

86

85

75

71

49

45

(1) 完成频率分布表； (2) 作出频率分布直方图； (3) 根据国家标准，污染指数在

0\sim 50

之间时，空气质量为优. 在

51\sim 100

之间时，为良；在

101\sim 150

之间时，为轻微污染. 在

151\sim 200

之间时，为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.

2010 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆

某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A，将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验，两种小麦各种植了

25

亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

品种 A（千克）	品种 B（千克）
$359$	$371$
$367$	$374$
$368$	$383$
$375$	$385$
$388$	$386$
$392$	$391$
$399$	$392$
$400$	$394$
$405$	$395$
$412$	$397$
$414$	$397$
$415$	$400$
$421$	$401$
$423$	$401$
$423$	$403$
$427$	$406$
$430$	$407$
$430$	$410$
$434$	$412$
$443$	$415$
$445$	$416$
$451$	$422$
$454$	$430$

(1) 完成所附的茎叶图； (2) 用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3) 通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论.

\begin{array}{c} \multicolumn{1}{c|}{A} & & \multicolumn{1}{c}{B} \\ \hline & $35$ & \\ & $36$ & \\ & $37$ & \\ & $38$ & \\ & $39$ & \\ & $40$ & \\ & $41$ & \\ & $42$ & \\ & $43$ & \\ & $44$ & \\ & $45$ & \\ \end{array}

2009 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16不等式★★☆☆☆

解不等式：

(|3x-1|-1)(\sin x-2)>0

2007 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★☆☆☆

0 < \alpha < \frac{\pi}{2}

\sin \alpha = \frac{4}{5}

\frac{\sin^{2}\alpha + \sin 2\alpha}{\cos^{2}\alpha + \cos 2\alpha}

的值. (2) 求

\tan\left(\alpha-\frac{5\pi}{4}\right)

2006 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆

在添加剂的搭配适用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂. 现有芳香度分别为

0

1

2

3

4

5

的六种添加剂可供选用. 根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.

(1) 求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于

4

的概率. (2) 求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于

3

2006 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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