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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费 9090 元，5050 元，2020 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 5050 元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 2525 元/件，乙分厂加工成本费为 2020 元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为 AA 级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的 100100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，nan+1=2(n+1)anna_{n+1}=2(n+1)a_n，设 bn=annb_n=\dfrac{a_n}{n}.
(1) 求 b1b_1，b2b_2，b3b_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 m=(22,−22)\boldsymbol{m} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，n=(sin⁡x,cos⁡x)\boldsymbol{n} = (\sin x, \cos x)，x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 若 m⊥n\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}，求 tan⁡x\tan x 的值； (2) 若 m\boldsymbol{m} 与 n\boldsymbol{n} 的夹角为 π3\frac{\pi}{3}，求 xx 的值.

2015 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡α=2\tan \alpha = 2.
(1) 求 tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) 的值； (2) 求 sin⁡2αsin⁡2α+sin⁡αcos⁡α−cos⁡2α−1\frac{\sin 2\alpha}{\sin^{2}\alpha + \sin \alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha - 1} 的值.

2015 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度\text{度}），[160,180)[160, 180)，[180,200)[180, 200)，[200,220)[200, 220)，[220,240)[220, 240)，[240,260)[240, 260)，[260,280)[260, 280)，[280,300)[280, 300) 分组的频率分布直方图如图.
(1) 求直方图中 xx 的值； (2) 求月平均用电量的众数和中位数； (3) 在月平均用电量为 [220,240)[220, 240)，[240,260)[240, 260)，[260,280)[260, 280)，[280,300)[280, 300) 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 [220,240)[220, 240) 的用户中应抽取多少户？

2015 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(x+π3)f(x) = A \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}，且 f(5π12)=322f\left( \frac{5\pi}{12} \right) = \frac{3\sqrt{2}}{2}.
(1) 求 AA 的值； (2) 若 f(θ)−f(−θ)=3f(\theta) - f(-\theta) = \sqrt{3}，θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，求 f(π6−θ)f\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right).

2014 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某车间 20 名工人年龄数据如下表：
283
293
305
314
323
401
(1) 求这 20 名工人年龄的众数与极差； (2) 以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； (3) 求这 20 名工人年龄的方差.

2014 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(x−π12)f(x) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{12}\right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(−π6)f\left(-\frac{\pi}{6}\right) 的值. (2) 若 cos⁡θ=35\cos \theta = \frac{3}{5}，θ∈(3π2,2π)\theta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)，求 f(2θ+π3)f\left(2\theta + \frac{\pi}{3}\right).

2013 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某车间共有 1212 名工人，随机抽取 66 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
17  97\;9
20  1  50\;1\;5
300
(1) 根据茎叶图计算样本均值. (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 1212 名工人中有几名优秀工人？ (3) 从该车间 1212 名工人中，任取 22 人，求恰有 11 名优秀工人的概率.

2013 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(x−π12)f(x) = \sqrt{2}\cos \left(x - \frac{\pi}{12}\right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(π3)f\left(\frac{\pi}{3}\right) 的值； (2) 若 cos⁡θ=35\cos\theta=\frac{3}{5}，θ∈(3π2,2π)\theta\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)，求 f(θ−π6)f\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right).

2013 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(sin⁡θ,−2)\boldsymbol{a} = (\sin\theta, -2) 与 b=(1,cos⁡θ)\boldsymbol{b} = (1, \cos\theta) 互相垂直，其中 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 求 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 的值； (2) 若 5cos⁡(θ−φ)=35cos⁡φ5\cos(\theta - \varphi) = 3\sqrt{5}\cos\varphi，0<φ<π20 < \varphi < \frac{\pi}{2}，求 cos⁡φ\cos\varphi 的值.

2009 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(x+φ)f(x) = A \sin (x + \varphi)（A>0A > 0，0<φ<π0 < \varphi < \pi），x∈Rx \in \mathbf{R} 的最大值是 1，其图象经过点 M(π3,12)M\left( \frac{\pi}{3}, \frac{1}{2} \right).
(1) 求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 已知 α\alpha，β∈(0,π2)\beta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)，且 f(α)=35f(\alpha) = \frac{3}{5}，f(β)=1213f(\beta) = \frac{12}{13}，求 f(α−β)f(\alpha - \beta) 的值.

2008 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)A(3,4)，B(0,0)B(0,0)，C(c,0)C(c,0).
(1) 若 c=5c = 5，求 sin⁡∠A\sin \angle A 的值； (2) 若 ∠A\angle A 是钝角，求 cc 的取值范围.

2007 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 xx （吨）与相应的生产能耗 yy （吨标准煤）的几组对照数据.
(1) 请画出上表的散点图； (2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 yy 关于 xx 的线性回归方程 y=bx+a^y = bx + \hat{a}； (3) 已知该厂技改前 100100 吨甲产品的生产能耗为 9090 吨标准煤. 试根据前一问求出的线性回归方程，预测生产 100100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.53 \times 2.5 + 4 \times 3 + 5 \times 4 + 6 \times 4.5 = 66.5）

2007 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)A(3,4)，B(0,0)B(0,0)，C(c,0)C(c,0).
(1) 若 AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0，求 cc 的值； (2) 若 c=5c = 5，求 sin⁡∠A\sin \angle A 的值.

2007 · 广东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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