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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 2∣x+1∣+∣x∣<42\lvert x+1\rvert+\lvert x\rvert<4.

2020 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
平面上点 A(2,−1)A(2,-1) 在矩阵
M=[a1−1b]M=\begin{bmatrix}a&1\\-1&b\end{bmatrix}
对应的变换作用下得到点 B(3,−4)B(3,-4).
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求矩阵 MM 的逆矩阵 M−1M^{-1}.

2020 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=(3122)A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 A2A^2； (2) 求矩阵 AA 的特征值.

2019 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 ∣x∣+∣2x−1∣>2|x|+|2x-1|>2.

2019 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21函数与初等函数★★☆☆☆
已知矩阵
A=[2312]A=\begin{bmatrix}2&3\\1&2\end{bmatrix}
.
(1) 求 AA 的逆矩阵 A−1A^{-1}； (2) 若点 PP 在矩阵 AA 对应的变换作用下得到点 P′(3,1)P'(3,1)，求点 PP 的坐标.

2018 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
如图，圆 OO 的半径为 22，ABAB 为圆 OO 的直径，PP 为 ABAB 延长线上一点，过 PP 作圆 OO 的切线，切点为 CC. 若 PC=23PC=2\sqrt3，求 BCBC 的长.

2018 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21函数与初等函数★★☆☆☆
已知矩阵
A=(0110)A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
，
B=(1002)B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 ABAB； (2) 若曲线 C1:x2+4y2=8C_1:x^2+4y^2=8 在矩阵 ABAB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2C_2，求 C2C_2 的方程.

2017 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
如图，ABAB 为半圆 OO 的直径，直线 PCPC 切半圆 OO 于点 CC，AP⊥PCAP\perp PC，PP 为垂足. 求证：
(1) ∠PAC=∠CAB\angle PAC=\angle CAB； (2) AC2=AP⋅ABAC^2=AP\cdot AB.

2017 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 a2+b2=4a^2+b^2=4，c2+d2=16c^2+d^2=16，证明 ac+bd≤8ac+bd\le 8.

2017 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AC=6AC=6，cos⁡B=45\cos B=\dfrac45，C=π4C=\dfrac\pi4.
(1) 求 ABAB 的长； (2) 求 cos⁡(A−π6)\cos\left(A-\dfrac\pi6\right) 的值.

2016 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=[120−2]A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\end{bmatrix}
，矩阵 BB 的逆矩阵
B−1=[1−1202]B^{-1}=\begin{bmatrix}1&-\dfrac12\\0&2\end{bmatrix}
，求矩阵 ABAB.

2016 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 a>0a>0，∣x−1∣<a3|x-1|<\dfrac a3，∣y−2∣<a3|y-2|<\dfrac a3，求证：∣2x+y−4∣<a|2x+y-4|<a.

2016 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB=2AB = 2，AC=3AC = 3，A=60∘A = 60^{\circ}.
(1) 求 BCBC 的长； (2) 求 sin⁡2C\sin 2C 的值.

2015 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知圆 CC 的极坐标方程为 ρ2+22ρsin⁡(θ−π4)−4=0\rho^2 + 2\sqrt{2}\rho \sin \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) - 4 = 0，求圆 CC 的半径.

2015 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
解不等式 x+∣2x+3∣≥2x + |2x + 3| \ge 2.

2015 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，向量
α=[1−1]\alpha = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
是矩阵
A=[x1y0]A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ y & 0 \end{bmatrix}
的属于特征值 −2-2 的一个特征向量，求矩阵 AA 以及它的另一个特征值.

2015 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
已知 α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，sin⁡α=55\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}.
(1) 求 sin⁡(π4+α)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) 的值； (2) 求 cos⁡(56π−2α)\cos\left(\frac{5}{6}\pi - 2\alpha\right) 的值.

2014 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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21立体几何初步★★☆☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，CC，DD 是圆 OO 上位于 ABAB 异侧的两点，证明： ∠OCB=∠D\angle OCB = \angle D.

2014 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 ll 的参数方程为
{x=1−22t,y=2+22t,\begin{cases} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t,\\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \end{cases}
（tt 为参数），直线 ll 与抛物线 y2=4xy^2 = 4x 交于 AA，BB 两点，求线段 ABAB 的长.

2014 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 ll 的参数方程为 x=t+1x=t+1，y=2ty=2t（tt 为参数），曲线 CC 的参数方程为 x=2tan⁡2θx=2\tan^2\theta，y=2tan⁡θy=2\tan\theta（θ\theta 为参数）. 试求直线 ll 和曲线 CC 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.

2013 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，求过椭圆
{x=5cos⁡φ,y=3sin⁡φ,\begin{cases} x=5\cos\varphi,\\ y=3\sin\varphi, \end{cases}
（φ\varphi 为参数）的右焦点，且与直线
{x=4−2t,y=3−t,\begin{cases} x=4-2t,\\ y=3-t, \end{cases}
（tt 为参数）平行的直线的普通方程.

2011 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=[1121]A=\begin{bmatrix}1&1\\ 2&1\end{bmatrix}
，向量
β=[12]\boldsymbol{\beta}=\begin{bmatrix}1\\ 2\end{bmatrix}
，求向量 α\boldsymbol{\alpha}，使得 A2α=βA^{2}\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}.

2011 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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15平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(−1,−2)A(-1,-2)，B(2,3)B(2,3)，C(−2,−1)C(-2,-1).
(1) 求以线段 ABAB，ACAC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2) 设实数 tt 满足 (AB→−tOC→)⋅OC→=0\left(\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{OC}\right)\cdot \overrightarrow{OC}=0，求 tt 的值.

2010 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，圆 ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos\theta 与直线 3ρcos⁡θ+4ρsin⁡θ+a=03\rho\cos\theta+4\rho\sin\theta+a=0 相切，求实数 aa 的值.

2010 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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