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18数列★★☆☆☆
已知数列 {xn}\{x_{n}\} 的首项 x1=3x_{1} = 3，通项 xn=2np+nqx_{n} = 2^{n}p + nq（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，pp，qq 为常数），且 x1x_{1}，x4x_{4}，x5x_{5} 成等差数列. 求：
(1) pp，qq 的值； (2) 数列 {xn}\{x_{n}\} 前 nn 项和 SnS_{n} 的公式.

2008 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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15数列★★☆☆☆
若 SnS_{n} 是公差不为 00 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，且 S1S_{1}，S2S_{2}，S4S_{4} 成等比数列.
(1) 求数列 S1S_{1}，S2S_{2}，S4S_{4} 的公比； (2) 若 S2=4S_{2} = 4，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2006 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2xf(x) = 2\sin x\cos x + \cos 2x.
(1) 求 f(π4)f\left(\frac{\pi}{4}\right) 的值； (2) 设 α∈(0,π)\alpha \in (0, \pi)，f(α2)=22f\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}，求 sin⁡α\sin \alpha 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由二倍角公式，f(x)=2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xf(x)=2\sin x\cos x+\cos 2x=\sin 2x+\cos 2x，所以 f(π4)=sin⁡π2+cos⁡π2=1f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{2}=1.
\item 由二倍角公式，f(α2)=2sin⁡α2cos⁡α2+cos⁡α=sin⁡α+cos⁡α=22f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\cos\alpha=\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}. 于是 cos⁡α=22−sin⁡α\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin\alpha. 代入 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1，得 sin⁡2α+(22−sin⁡α)2=1\sin^2\alpha+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin\alpha\right)^2=1，即 2sin⁡2α−2sin⁡α−12=02\sin^2\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha-\frac{1}{2}=0. 解得 sin⁡α=2+64\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} 或 sin⁡α=2−64\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}. 因为 α∈(0,π)\alpha\in(0,\pi)，所以 sin⁡α>0\sin\alpha>0，故 sin⁡α=2+64\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知实数 aa，bb，cc 成等差数列，a+1a + 1，b+1b + 1，c+4c + 4 成等比数列. 且 a+b+c=15a + b + c = 15，求 aa，bb，cc.
\begin{solution} 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b. 又 a+b+c=15a+b+c=15，从而 3b=153b=15，即 b=5b=5.
设等差数列的公差为 dd，则 a=5−da=5-d，c=5+dc=5+d. 由 a+1a+1，b+1b+1，c+4c+4 成等比数列，得 (b+1)2=(a+1)(c+4)(b+1)^2=(a+1)(c+4)，即 36=(6−d)(9+d)=54−3d−d236=(6-d)(9+d)=54-3d-d^2. 所以 d2+3d−18=(d−3)(d+6)=0d^2+3d-18=(d-3)(d+6)=0，故 d=3d=3 或 d=−6d=-6.
当 d=3d=3 时，(a,b,c)=(2,5,8)(a,b,c)=(2,5,8)；当 d=−6d=-6 时，(a,b,c)=(11,5,−1)(a,b,c)=(11,5,-1). 因此 (a,b,c)=(2,5,8)(a,b,c)=(2,5,8) 或 (a,b,c)=(11,5,−1)(a,b,c)=(11,5,-1). \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，Sn=13(an−1)S_n = \frac{1}{3}(a_n - 1)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 求 a1a_1，a2a_2； (2) 求证数列 {an}\{a_n\} 是等比数列.

2004 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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