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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费 9090 元，5050 元，2020 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 5050 元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 2525 元/件，乙分厂加工成本费为 2020 元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为 AA 级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的 100100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，nan+1=2(n+1)anna_{n+1}=2(n+1)a_n，设 bn=annb_n=\dfrac{a_n}{n}.
(1) 求 b1b_1，b2b_2，b3b_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的参数方程为
{x=1+3cos⁡t,y=−2+3sin⁡t.\begin{cases} x = 1 + 3\cos t,\\ y = -2 + 3\sin t. \end{cases}
（tt 为参数）. 在极坐标系（与平面直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴非负半轴为极轴）中，直线 ll 的方程为 2ρsin⁡(θ−π4)=m\sqrt{2}\rho\sin \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = m（m∈Rm \in \mathbf{R}）.
(1) 求圆 CC 的普通方程及直线 ll 的直角坐标方程； (2) 设圆心 C′C' 到直线 ll 的距离等于 2，求 mm 的值.

2015 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a2=4a_{2} = 4，a4+a7=15a_{4} + a_{7} = 15.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=2an−2+nb_{n} = 2^{a_{n} - 2} + n，求 b1+b2+b3+⋯+b10b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{10} 的值.

2015 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标. 根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
2[5,6)[5,6)8
3[6,7)[6,7)7
4[7,8][7,8]3
(1) 现从融合指数在 [4,5)[4, 5) 和 [7,8][7, 8] 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在 [7,8][7, 8] 内的概率； (2) 根据分组统计表法求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.

2015 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵 AA 的逆矩阵
A−1=(2112)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
.
(1) 求矩阵 AA； (2) 求矩阵 A−1A^{-1} 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

2014 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll 的参数方程为
{x=a−2t,y=−4t,\begin{cases} x=a-2t,\\ y=-4t, \end{cases}
（tt 为参数），圆 CC 的参数方程为
{x=4cos⁡θ,y=4sin⁡θ,\begin{cases} x=4\cos\theta,\\ y=4\sin\theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 求直线 ll 和圆 CC 的普通方程； (2) 若直线 ll 与圆 CC 有公共点，求实数 aa 的取值范围.

2014 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=∣x+1∣+∣x−2∣f(x) = |x + 1| + |x - 2| 的最小值为 aa.
(1) 求 aa 的值； (2) 若 pp，qq，rr 为正实数，且 p+q+r=ap + q + r = a，求证：p2+q2+r2⩾3p^2 + q^2 + r^2 \geqslant 3.

2014 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_n\} 中，a2=3a_2 = 3，a5=81a_5 = 81.
(1) 求 ana_n； (2) 设 bn=log⁡3anb_n = \log_{3} a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等比数列的公比为 qq. 由 a5=a2q3a_5=a_2q^3，得 81=3q381=3q^3，所以 q3=27q^3=27，从而 q=3q=3. 又 a1=a2q=1a_1=\frac{a_2}{q}=1，故 an=a1qn−1=3n−1a_n=a_1q^{n-1}=3^{n-1}. \item 由 an=3n−1>0a_n=3^{n-1}>0，得 bn=log⁡3an=n−1b_n=\log_3a_n=n-1. 因此 Sn=∑k=1nbk=∑k=1n(k−1)=n(n−1)2S_n=\sum_{k=1}^{n}b_k=\sum_{k=1}^{n}(k-1)=\frac{n(n-1)}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知直线 l:ax+y=1l: ax + y = 1 在矩阵
A=(1201)A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}
对应的变换作用下变为直线 l′:x+by=1l': x + by = 1.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 若点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 在直线 ll 上，且
A(x0y0)=(x0y0)A \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}
，求点 PP 的坐标.

2013 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 AA 的极坐标为 (2,π4)\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)，直线 ll 的极坐标方程为 ρcos⁡(θ−π4)=a\rho \cos \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = a，且点 AA 在直线 ll 上.
(1) 求 aa 的值及直线 ll 的直角坐标方程； (2) 圆 CC 的参数方程为
{x=1+cos⁡α,y=sin⁡α,\begin{cases} x = 1 + \cos \alpha,\\ y = \sin \alpha, \end{cases}
（α\alpha 为参数），试判断直线 ll 与圆 CC 的位置关系.

2013 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
设不等式 ∣x−2∣<a|x - 2| < a（a∈N∗a \in \mathbf{N}^{*}）的解集为 AA，且 32∈A\frac{3}{2} \in A， 12∉A\ \frac{1}{2} \notin A.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−2∣f(x) = |x + a| + |x - 2| 的最小值.

2013 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 d=1d = 1，前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若 11，a1a_{1}，a3a_{3} 成等比数列，求 a1a_{1}； (2) 若 S5>a1a9S_{5} > a_{1}a_{9}，求 a1a_{1} 的取值范围.

2013 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★☆☆☆
设曲线 2x2+2xy+y2=12x^{2} + 2xy + y^{2} = 1 在矩阵
A=(a0b1)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}
（a>0a > 0）对应的变换作用下得到的曲线为 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求 A2A^{2} 的逆矩阵.

2012 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q=3q=3，前 33 项和 S3=133S_3=\frac{13}{3}.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若函数 f(x)=Asin⁡(2x+φ)f(x)=A\sin\left(2x+\varphi\right)（A>0A>0，0<φ<π0<\varphi<\pi）在 x=π6x=\frac{\pi}{6} 处取得最大值，且最大值为 a3a_3，求函数 f(x)f(x) 的解析式.

2011 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
设矩阵
M=(a00b)M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}
（其中 a>0a > 0，b>0b > 0）
(1) 若 a=2a = 2，b=3b = 3，求矩阵 MM 的逆矩阵 M−1M^{-1}； (2) 若曲线 C:x2+y2=1C: x^{2} + y^{2} = 1 在矩阵 MM 所对应的线性变换作用下得到曲线 C′:x24+y2=1C' : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1，求 aa，bb 的值.

2011 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，a3=−3a_{3} = -3.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 kk 项和 Sk=−35S_{k} = -35，求 kk 的值.

2011 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★☆☆☆
如图，直线 ll：y=x+by = x + b 与抛物线 CC：x2=4yx^2 = 4y 相切于点 AA.
(1) 求实数 bb 的值； (2) 求以点 AA 为圆心，且与抛物线 CC 的准线相切的圆的方程.

2011 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
已知矩阵
M=(1ab1)M = \begin{pmatrix}1 & a\\ b & 1 \end{pmatrix}
，
N=(c20d)N = \begin{pmatrix}c & 2\\ 0 & d \end{pmatrix}
，且
MN=(20−20)MN = \begin{pmatrix}2 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix}
.
(1) 求实数 aa，bb，cc，dd 的值； (2) 求直线 y=3xy = 3x 在矩阵 MM 所对应的线性变换下的像的方程.

2010 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 中， a1=13a_{1}=\frac{1}{3}，前 nn 项和 SnS_{n} 满足 Sn+1−Sn=(13)n+1S_{n+1}-S_{n}=\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} （n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式 ana_{n} 以及前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 若 S1S_{1}，t(S1+S2)t\left(S_{1}+S_{2}\right)，3(S2+S3)3\left(S_{2}+S_{3}\right) 成等差数列，求实数 tt 的值.

2010 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
M=(2−31−1)M = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
所对应的线性变换把点 A(x,y)A(x, y) 变成点 A′(13,5)A'(13, 5)，试求 MM 的逆矩阵及点 AA 的坐标.
\begin{solution} 矩阵MM的行列式为 det⁡M=2×(−1)−(−3)×1=1≠0\det M=2\times(-1)-(-3)\times1=1\neq0，所以MM可逆，且
M−1=1det⁡M(−13−12)=(−13−12)M^{-1}=\frac{1}{\det M}\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}
由线性变换关系
M(xy)=(135)M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix}
得
(xy)=M−1(135)=(−13−12)(135)=(2−3)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13\\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}
因此A=(2,−3)A=(2,-3). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll：3x+4y−12=03x + 4y - 12 = 0 与圆 CC：
{x=−1+2cos⁡θ,y=2+2sin⁡θ,\begin{cases} x = -1 + 2\cos \theta,\\ y = 2 + 2\sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数），试判断他们的公共点个数.
\begin{solution} 圆CC的圆心为O1=(−1,2)O_1=(-1,2)，半径为22.圆心到直线l:3x+4y−12=0l:3x+4y-12=0的距离为
d=∣3(−1)+4×2−12∣32+42=75<2d=\frac{|3(-1)+4\times2-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{7}{5}<2
因此直线与圆相交于两个不同的公共点，公共点个数为22. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★☆☆☆
解不等式 ∣2x−1∣<∣x∣+1|2x - 1| < |x| + 1.
\begin{solution} 两边均为非负数，可以平方而不改变不等号方向，得
(2x−1)2<(∣x∣+1)2⟺3x2−4x<2∣x∣(2x-1)^2<(|x|+1)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2-4x<2|x|
当x⩾0x\geqslant0时，∣x∣=x|x|=x，所以 3x2−6x<03x^2-6x<0，即0<x<20<x<2. 当x<0x<0时，∣x∣=−x|x|=-x，所以 3x2−2x<03x^2-2x<0，即x(3x−2)<0x(3x-2)<0，但此时两个因子均为负，乘积为正，无解. 综上，不等式的解集为(0,2)(0,2). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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