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035分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a+b∣=1\left| \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right|=1，∣a−b∣=3\left| \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right|=\sqrt{3}，则 a⋅b=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
13\frac{1}{3}
C.
−13-\frac{1}{3}
D.
−12-\frac{1}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 3 题 · 选择题

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045分解析几何★★☆☆☆
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）经过点 (1,0)\left( 1,0 \right) 和点 (72,3)\left( \frac{\sqrt{7}}{2},3 \right)，则 CC 的渐近线方程为（ ）
A.
y=±32xy=\pm 3\sqrt{2}x
B.
y=±23xy=\pm 2\sqrt{3}x
C.
y=±36xy=\pm \frac{\sqrt{3}}{6}x
D.
y=±26xy=\pm \frac{\sqrt{2}}{6}x

2026 · 全国 · 二卷 · 第 4 题 · 选择题

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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知棱台的上，下底面均是有一个内角为 60∘60^\circ 的菱形，上，下底面的边长分别为 22，33，该棱台的高为 3\sqrt{3}，则其体积为（ ）
A.
1912\frac{19}{12}
B.
196\frac{19}{6}
C.
194\frac{19}{4}
D.
192\frac{19}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 5 题 · 选择题

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065分计数原理与组合数学★★☆☆☆
把甲，乙，丙，丁等 88 位员工分为 AA，BB 两个技术攻关组，要求每组 44 人，其中甲，乙同组，丙，丁不同组，则分组方案共有（ ）
A.
1010 种
B.
1212 种
C.
1616 种
D.
2424 种

2026 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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065分解析几何★★☆☆☆
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，点 AA 在 CC 上，过 AA 作 CC 的准线的垂线，垂足为 BB. 若直线 BFBF 的方程为 y=−2x+2y=-2x+2，则 ∣AF∣=|AF|=（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2025 · 全国 · 二卷 · 第 6 题 · 选择题

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075分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 S3=6S_3=6，S5=−5S_5=-5，则 S6=S_6=（ ）
A.
−20-20
B.
−15-15
C.
−10-10
D.
−5-5

2025 · 全国 · 二卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分三角函数★★☆☆☆
已知 0<α<π0<\alpha<\pi，cos⁡α2=55\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt5}{5}，则 sin⁡(α−π4)=\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=（ ）
A.
210\frac{\sqrt2}{10}
B.
25\frac{\sqrt2}{5}
C.
3210\frac{3\sqrt2}{10}
D.
7210\frac{7\sqrt2}{10}

2025 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分导数及其应用★★☆☆☆
若 x=2x=2 是函数 f(x)=(x−1)(x−2)(x−a)f(x)=(x-1)(x-2)(x-a) 的极值点，则 f(0)=f(0)=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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03不等式★★☆☆☆
若实数 xx，yy 满足约束条件
{4x−3y−3≥0,x−2y−2≤0,2x+6y−9≤0,\begin{cases} 4x-3y-3\ge 0,\\ x-2y-2\le 0,\\ 2x+6y-9\le 0, \end{cases}
则 z=x−5yz=x-5y 的最小值为（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
00
C.
−52-\dfrac{5}{2}
D.
−72-\dfrac{7}{2}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，若 S5=S10S_5=S_{10}，a5=1a_5=1，则 a1=a_1=（ ）
A.
72\dfrac{7}{2}
B.
73\dfrac{7}{3}
C.
−13-\dfrac{1}{3}
D.
−711-\dfrac{7}{11}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
已知双曲线的两个焦点分别为 (0,4)(0,4)，(0,−4)(0,-4)，点 P(−6,4)P(-6,4) 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
2\sqrt{2}

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06导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=ex+2sin⁡x1+x2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2\sin x}{1+x^2}，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在 (0,1)(0,1) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A.
16\dfrac{1}{6}
B.
13\dfrac{1}{3}
C.
12\dfrac{1}{2}
D.
23\dfrac{2}{3}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡αcos⁡α−sin⁡α=3\dfrac{\cos \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=\sqrt{3}，则 tan⁡(α+π4)=\tan \left( \alpha+\dfrac{\pi}{4} \right)=（ ）
A.
23+12\sqrt{3}+1
B.
23−12\sqrt{3}-1
C.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D.
1−31-\sqrt{3}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(x+1,x)\boldsymbol{a}=(x+1,x)，b=(x,2)\boldsymbol{b}=(x,2)，则（ ）
A.
“x=−3x=-3”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的必要条件
B.
“x=1+3x=1+\sqrt{3}”是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的必要条件
C.
“x=0x=0”是“a⊥b\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}”的充分条件
D.
“x=−1+3x=-1+\sqrt{3}”是“a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}”的充分条件

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1，1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac{1}{\log_8 a}-\dfrac{1}{\log_a 4}=-\dfrac{5}{2}，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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03平面向量★★☆☆☆
设向量 a=(x+1,x)\boldsymbol{a}=(x+1,x)，b=(x,2)\boldsymbol{b}=(x,2)，c=(1,1)\boldsymbol{c}=(1,1)，若 a−2b\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b} 与 c\boldsymbol{c} 共线，则 x=x=（ ）
A.
52\dfrac52
B.
12\dfrac12
C.
−12-\dfrac12
D.
−52-\dfrac52

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
某独唱比赛的决赛阶段共有甲，乙，丙，丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定. 则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ）
A.
16\dfrac16
B.
14\dfrac14
C.
13\dfrac13
D.
12\dfrac12

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 S9=1S_9=1，则 a3+a7=a_3+a_7=（ ）
A.
19\dfrac19
B.
29\dfrac29
C.
13\dfrac13
D.
23\dfrac23

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06解析几何★★☆☆☆
已知双曲线的两个焦点分别为 (0,4)(0,4)，(0,−4)(0,-4)，点 (−6,4)(-6,4) 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
2\sqrt2

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)=ex+2sin⁡x1+x2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2\sin x}{1+x^2}，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,1)(0,1) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

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09解析几何★★☆☆☆
直线 2x−y−2=02x-y-2=0 与圆 x2+y2−6x−8y=0x^2+y^2-6x-8y=0 交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=|AB|=（ ）
A.
44
B.
55
C.
88
D.
1010

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡αcos⁡α−sin⁡α=3\dfrac{\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\sqrt3，则 tan⁡(α+π4)=\tan\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=（ ）
A.
23+12\sqrt3+1
B.
23−12\sqrt3-1
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
1−31-\sqrt3

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14立体几何初步★★☆☆☆
已知圆台甲，乙的上底面半径均为 r1r_1，下底面半径均为 r2r_2，圆台甲，乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2-r_1)，3(r2−r1)3(r_2-r_1)，则圆台甲与乙的体积之比为______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>1a>1 且 1log⁡8a−1log⁡a4=−52\dfrac1{\log_8a}-\dfrac1{\log_a4}=-\dfrac52，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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