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125分平面向量★★☆☆☆
已知平面向量 a=(x,1)\boldsymbol{a}=(x,1)，b=(x−1,2x)\boldsymbol{b}=(x-1,2x)，若 a⊥(a−b)\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})，则 ∣a∣=|\boldsymbol{a}|=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分导数及其应用★★☆☆☆
若 x=2x=2 是函数 f(x)=(x−1)(x−2)(x−a)f(x)=(x-1)(x-2)(x-a) 的极值点，则 f(0)=f(0)=______.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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125分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 a3+a4=7a_3+a_4=7，3a2+a5=53a_2+a_5=5，则 S10=S_{10}=______.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 填空题

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135分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a−b∣=3|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt3，∣a+b∣=∣2a−b∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|，则 ∣b∣=‾|\boldsymbol{b}|=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 44 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 22，高为 33 的正四棱锥，所得棱台的体积为______.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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155分平面向量★★☆☆☆
已知向量 a+b+c=\bs0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\bs 0，∣a∣=1\left| \boldsymbol{a} \right|=1，∣b∣=∣c∣=2\left| \boldsymbol{b} \right|=\left| \boldsymbol{c} \right|=2，则 a⋅b+b⋅c+c⋅a=‾\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a}=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −92-\frac{9}{2} \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 15 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★☆☆☆
44 名同学到 33 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 11 个小区，每个小区至少安排 11 名同学，则不同的安排方法共有______种.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15复数★★☆☆☆
设复数 z1z_1，z2z_2 满足 ∣z1∣=∣z2∣=2|z_1|=|z_2|=2，z1+z2=3+iz_1+z_2=\sqrt3+\mathrm{i}，则 ∣z1−z2∣=|z_1-z_2|=______.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=−2a_1=-2，a2+a6=2a_2+a_6=2，则 S10=‾S_{10}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x+y≥−1,x−y≥−1,2x−y≤1\begin{cases} x+y\ge -1,\\ x-y\ge -1,\\ 2x-y\le 1 \end{cases}
，则 z=x+2yz=x+2y 的最大值是______.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是奇函数，且当 x<0x<0 时，f(x)=−eaxf(x)=-\mathrm{e}^{ax}. 若 f(ln⁡2)=8f(\ln2)=8，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 b=6b=6，a=2ca=2c，B=π3B=\dfrac{\pi}{3}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{2x+3y−6≥0,x+y−3≤0,y−2≤0,\begin{cases} 2x+3y-6\ge0,\\ x+y-3\le0,\\ y-2\le0, \end{cases}
，则 z=3x−yz=3x-y 的最大值是______.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡A+acos⁡B=0b\sin A+a\cos B=0，则 B=‾B=\underline{\hspace{2em}}.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y−5≥0,x−2y+3≥0,x−5≤0\begin{cases} x+2y-5\ge0,\\ x-2y+3\ge0,\\ x-5\le0 \end{cases}
则 z=x+yz=x+y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α+cos⁡β=1\sin\alpha+\cos\beta=1，cos⁡α+sin⁡β=0\cos\alpha+\sin\beta=0，则 sin⁡(α+β)=‾\sin(\alpha+\beta)=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y−5≥0,x−2y+3≥0,x−5≤0\begin{cases} x+2y-5\ge0,\\ x-2y+3\ge0,\\ x-5\le0 \end{cases}
则 z=x+yz=x+y 的最大值为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡(α−5π4)=15\tan\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac15，则 tan⁡α=‾\tan\alpha=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x3+12x)5\left(x^{3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^{5} 的展开式中 x8x^{8} 的系数是______. （用数字作答）
\begin{answer} 52\frac{5}{2} \end{answer}
\begin{solution} 设通项中取 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} 的因子数为 kk，则该项为
C5k(x3)5−k(12x)k\mathrm C_5^k\left(x^3\right)^{5-k}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^k
其中 xx 的指数为 3(5−k)−k2=15−7k23(5-k)-\frac{k}{2}=15-\frac{7k}{2}. 令其等于 88，得 k=2k=2. 因此所求系数为
C52(12)2=52\mathrm C_5^2\left(\frac12\right)^2=\frac{5}{2}
\end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
如图，圆 OO 的弦 ABAB，CDCD 相交于点 EE，过点 AA 作圆 OO 的切线与 DCDC 的延长线交于点 PP，若 PA=6PA = 6，AE=9AE = 9，PC=3PC = 3，CE:ED=2:1CE:ED = 2:1，则 BE=BE =______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 由切线与割线定理，PA2=PC⋅PDPA^2=PC\cdot PD，所以
PD=PA2PC=363=12PD=\frac{PA^2}{PC}=\frac{36}{3}=12
图中点的顺序为 PP，CC，EE，DD，故 CD=PD−PC=9CD=PD-PC=9. 由 CE:ED=2:1CE:ED=2:1，得 CE=6CE=6，ED=3ED=3. 再由相交弦定理，
AE⋅BE=CE⋅EDAE\cdot BE=CE\cdot ED
从而
BE=6×39=2BE=\frac{6\times3}{9}=2
\end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12解析几何★★☆☆☆
若点 P(1,2)P(1,2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 PP 处的切线方程为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 a=2a = 2，cos⁡C=−14\cos C = -\frac{1}{4}，3sin⁡A=2sin⁡B3\sin A = 2\sin B，则 c=‾c =\underline{\hspace{2em}}.

2015 · 重庆 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
已知直线 ll 的参数方程为
{x=2+t,y=3+t,\begin{cases} x=2+t,\\ y=3+t, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρsin⁡2θ−4cos⁡θ=0\rho\sin^{2}\theta-4\cos\theta=0（ρ⩾0\rho\geqslant0，0⩽θ<2π0\leqslant\theta<2\pi），则直线 ll 与曲线 CC 的公共点的极径 ρ=\rho=______.

2014 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，a1=1a_{1}=1，公差 d≠0d\neq0，SnS_{n} 为其前 nn 项和. 若 a1a_{1}，a2a_{2}，a5a_{5} 成等比数列，则 S8=S_{8}=______.
\begin{answer} 6464 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列的通项为 an=1+(n−1)da_n=1+(n-1)d，所以 a2=1+da_2=1+d，a5=1+4da_5=1+4d. 由 a1a_1，a2a_2，a5a_5 成等比数列，得 a22=a1a5a_2^2=a_1a_5，(1+d)2=1+4d(1+d)^2=1+4d. 整理得 d(d−2)=0d(d-2)=0. 由于 d≠0d\neq0，所以 d=2d=2. 于是
S8=82(2a1+7d)=4(2+14)=64S_8=\frac{8}{2}\left(2a_1+7d\right)=4(2+14)=64
\end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 若极坐标方程为 ρcos⁡θ=4\rho\cos \theta = 4 的直线与曲线
{x=t2,y=t3,\begin{cases} x = t^2,\\ y = t^3, \end{cases}
（tt 为参数）相交于 AA，BB 两点，则 ∣AB∣=‾|AB| =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 1616 \end{answer}
\begin{solution} 极坐标方程满足 x=ρcos⁡θ=4x=\rho\cos\theta=4，所以相交弦所在直线为 x=4x=4. 参数方程给出 x=t2x=t^2，于是 t2=4t^2=4，t=±2t=\pm2. 对应的两个交点为 A=(4,8)A=(4,8)，B=(4,−8)B=(4,-8). 因此
∣AB∣=8−(−8)=16|AB|=8-(-8)=16
\end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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