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1715分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 是公差不为 00 的等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 a3=S5a_3=S_5，a2a4=S4a_2a_4=S_4.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式 ana_n； (2) 求使 Sn>anS_n>a_n 成立的 nn 的最小值.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★☆☆☆
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 yy 的频数分布表.
(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%40\% 的企业比例，产值负增长的企业比例； (2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到 0.010.01）
附：74≈8.602\sqrt{74}\approx 8.602.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=−7a_1=-7，S3=−15S_3=-15.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 SnS_n，并求 SnS_n 的最小值.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=−7a_1=-7，S3=−15S_3=-15.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 SnS_n，并求 SnS_n 的最小值.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a3=2a_3 = 2，前 3 项和 S3=92S_3 = \frac{9}{2}.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设等比数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 b1=a1b_1 = a_1，b4=a15b_4 = a_{15}，求 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2015 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
(1) 求 yy 关于 tt 的回归方程 y^=b^t+a^\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}； (2) 用所求回归方程预测该地区 2015 年（t=6t = 6）的人民币储蓄存款. 附：回归方程 y^=b^t+a^\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a} 中，b^=∑i=1ntiyi−nt‾ y‾∑i=1nti2−nt‾2\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n} t_{i} y_{i} - n \overline{t} \, \overline{y}}{\sum_{i=1}^{n} t_{i}^{2} - n \overline{t}^{2}}，a^=y‾−b^t‾\hat{a} = \overline{y} - \hat{b} \overline{t}.

2015 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，SnS_{n} 表示 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和.
(1) 求 ana_{n} 及 SnS_{n}； (2) 设 {bn}\{b_{n}\} 是首项为 2 的等比数列，公比 qq 满足 q2−(a4+1)q+S4=0q^{2} - (a_{4} + 1)q + S_{4} = 0，求 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式及其前 nn 项和 TnT_{n}.

2014 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足：a1=1a_{1} = 1，an+1=3ana_{n+1} = 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式及前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 已知 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，TnT_{n} 为其前 nn 项和，且 b1=a2b_{1}=a_{2}，b3=a1+a2+a3b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}，求 T20T_{20}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由递推关系，每增加一个下标就乘以 33，且 a1=1a_1=1，所以
an=a1⋅3n−1=3n−1a_n=a_1\cdot3^{n-1}=3^{n-1}
这是首项为 11、公比为 33 的等比数列，故前 nn 项和为
Sn=a1(3n−1)3−1=3n−12S_n=\frac{a_1(3^n-1)}{3-1}=\frac{3^n-1}{2}
\item 由第（1）问 a2=3a_2=3，a1+a2+a3=1+3+9=13a_1+a_2+a_3=1+3+9=13. 因此 b1=3b_1=3，b3=13b_3=13. 设等差数列 {bn}\{b_n\} 的公差为 dd，则 b3=b1+2db_3=b_1+2d，⟹\Longrightarrow，13=3+2d13=3+2d，d=5d=5. 所以
T20=202(2b1+19d)=10(6+95)=1010T_{20}=\frac{20}{2}\bigl(2b_1+19d\bigr) =10(6+95)=1010
\end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
从某居民区随机抽取 10 个10\text{ 个}家庭，获得第 ii 个家庭的月收入 xix_{i} （单位：千元\text{千元}）与月储蓄 yiy_{i} （单位：千元\text{千元}）的数据资料，算得 ∑i=110xi=80\sum_{i=1}^{10} x_{i} = 80，∑i=110yi=20\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 20，∑i=110xiyi=184\sum_{i=1}^{10} x_{i}y_{i} = 184，∑i=110xi2=720\sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2} = 720.
(1) 求家庭的月储蓄 yy 对月收入 xx 的线性回归方程 y=bx+ay = bx + a； (2) 判断变量 xx 与 yy 之间是正相关还是负相关； (3) 若该居民区某家庭月收入为 7 千元7\text{ 千元}，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程 y=bx+ay = bx + a 中， b=∑i=1nxiyi−nx‾ y‾∑i=1nxi2−nx‾2b = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} - n\overline{x}\,\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} - n\overline{x}^{2}}，a=y‾−bx‾a = \overline{y} - b\overline{x}， 其中 x‾\overline{x}，y‾\overline{y} 为样本平均值，线性回归方程也可写为 y^=b^x+a^\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}. \begin{solution} \begin{enumerate} \item 样本平均值为 x‾=8010=8\overline{x}=\frac{80}{10}=8，y‾=2010=2\overline{y}=\frac{20}{10}=2. 代入题给公式，回归系数
b=184−10×8×2720−10×82=2480=310b=\frac{184-10\times8\times2}{720-10\times8^2} =\frac{24}{80}=\frac3{10}
于是
a=y‾−bx‾=2−310×8=−25a=\overline y-b\overline x=2-\frac3{10}\times8=-\frac25
线性回归方程为
y^=310x−25\hat y=\frac3{10}x-\frac25
\item 回归系数 b=310>0b=\frac3{10}>0，所以 xx 与 yy 正相关. \item 当 x=7x=7 时，预测值为
y^=310×7−25=1710=1.7\hat y=\frac3{10}\times7-\frac25=\frac{17}{10}=1.7
故预测该家庭月储蓄为 1.71.7 千元. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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16导数及其应用★★☆☆☆
设 f(x)=aln⁡x+12x+32x+1f(x)=a\ln x+\frac{1}{2x}+\frac{3}{2}x+1，其中 a∈Ra\in \mathbf{R}，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线垂直于 yy 轴.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数的定义域为 x>0x>0，且
f′(x)=ax−12x2+32f'(x)=\frac{a}{x}-\frac{1}{2x^{2}}+\frac32
曲线在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线垂直于 yy 轴，所以该切线为水平切线，故 f′(1)=0f'(1)=0. 因此 a−12+32=0a-\frac12+\frac32=0，a=−1a=-1
\item 代入 a=−1a=-1，得
f′(x)=−1x−12x2+32=3x2−2x−12x2=(3x+1)(x−1)2x2f'(x)=-\frac1x-\frac{1}{2x^{2}}+\frac32 =\frac{3x^{2}-2x-1}{2x^{2}} =\frac{(3x+1)(x-1)}{2x^{2}}
在定义域 x>0x>0 内，3x+1>03x+1>0，2x2>02x^{2}>0，所以 f′(x)<0f'(x)<0 当 0<x<10<x<1，f′(x)>0f'(x)>0 当 x>1x>1. 于是 f(x)f(x) 在 (0,1)(0,1) 上递减，在 (1,+∞)(1,+\infty) 上递增，故 x=1x=1 为极小值点. 极小值为
f(1)=−ln⁡1+12+32+1=3f(1)=-\ln1+\frac12+\frac32+1=3
函数没有最大值. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 为等差数列，且 a1+a3=8a_{1}+a_{3}=8，a2+a4=12a_{2}+a_{4}=12.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 {Sn}\{S_{n}\}，若 a1a_{1}，aka_{k}，ak+2a_{k+2} 成等比数列，求正整数 kk 的值.

2012 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是首项为 19，公差为 −2-2 的等差数列，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和.
(1) 求通项 ana_{n} 及 SnS_{n}； (2) 设 {bn−an}\{b_{n}-a_{n}\} 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式及前 nn 项和 TnT_{n}.

2010 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★☆☆☆
设 f(x)=6cos⁡2x−3sin⁡2xf(x) = 6\cos^2 x - \sqrt{3}\sin 2x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最大值及最小正周期； (2) 若锐角 α\alpha 满足 f(α)=3−23f(\alpha) = 3 - 2\sqrt{3}，求 tan⁡45α\tan \frac{4}{5} \alpha 的值.

2007 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
设甲，乙两人每次射击命中目标的概率分别为 34\frac{3}{4} 和 45\frac{4}{5}，且各次射击相互独立.
(1) 若甲，乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； (2) 若甲，乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率.

2007 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 1818，1919，2020 层可以停靠. 若该电梯在底层载有 55 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 13\frac{1}{3}，用 ξ\xi 表示这 55 位乘客在第 2020 层下电梯的人数，求：
(1) 随机变量 ξ\xi 的分布列； (2) 随机变量 ξ\xi 的期望.

2006 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
甲，乙，丙三人在同一办公室工作，办公室里只有一部电话机. 设该机打进的电话是打给甲，乙，丙的概率依次为 16\frac{1}{6}，13\frac{1}{3}，12\frac{1}{2}. 若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立. 求：
(1) 这三个电话是打给同一个人的概率； (2) 这三个电话中恰有两个是打给甲的概率.

2006 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为 910\frac{9}{10}，89\frac{8}{9}，78\frac{7}{8}，且各道工序互不影响.
(1) 求该种零件的合格率； (2) 从该种零件中任取 33 件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设一件零件合格的事件为 AA. 由于三道工序相互独立，该零件合格必须三道工序都合格，所以 P(A)=910×89×78=710=0.7P(A)=\frac9{10}\times\frac89\times\frac78=\frac7{10}=0.7. \item 任取的 33 件零件可看作独立重复试验，每件合格的概率为 p=0.7p=0.7，不合格的概率为 1−p=0.31-p=0.3. 恰好取到一件合格品的概率为 C31(0.7)(0.3)2=0.189\mathrm C_3^1(0.7)(0.3)^2=0.189. 至少取到一件合格品的概率用对立事件计算，为 1−(0.3)3=0.9731-(0.3)^3=0.973. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★☆☆☆
设甲，乙，丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.70.7，0.60.6 和 0.50.5.
(1) 三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； (2) 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.

2004 · 重庆 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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