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17概率与统计★★☆☆☆
2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子 4×1004\times100 米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子 4×1004\times100 米混合泳接力项目冠军成绩（单位：秒），数据按照升序排列.
(1) 求这组数据的极差与中位数； (2) 从这 10 个数据中任选 3 个，求恰有 2 个数据大于 211211 的概率； (3) 若比赛成绩 yy 关于年份 xx 的回归方程为 y=−0.311x+b^y=-0.311x+\hat b，年份 xx 的平均数为 20062006，预测 20282028 年男子 4×1004\times100 米混合泳接力项目冠军队的成绩（精确到 0.010.01 秒）.

2025 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xix_i，yiy_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010）. 试验结果如下：
i12345678910
yiy_i536527543530560533522550576536
zi=xi−yiz_i=x_i-y_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010），记 z1z_1，z2z_2，⋯\cdots，z10z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar z，样本方差为 s2s^2.
(1) 求 zˉ\bar z，s2s^2； (2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar z\ge 2\sqrt{\frac{s^2}{10}}，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 1010 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率. 甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xix_i，yiy_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010）. 试验结果如下：
试验序号 ii12345678910
伸缩率 yiy_i536527543530560533522550576536
记 zi=xi−yiz_i=x_i-y_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，1010），记 z1z_1，z2z_2，⋯\cdots，z10z_{10} 的样本平均数为 zˉ\bar z，样本方差为 s2s^2.
(1) 求 zˉ\bar z，s2s^2； (2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 zˉ≥2s210\bar z\ge2\sqrt{\frac{s^2}{10}}，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由表中数据得 z1z_1，z2z_2，…\ldots，z10z_{10} 依次为 99，66，88，−8-8，1515，1111，1919，1818，2020，1212. 因此 zˉ=9+6+8−8+15+11+19+18+20+1210=11\bar z=\dfrac{9+6+8-8+15+11+19+18+20+12}{10}=11，且
s2=110[(−2)2+(−5)2+(−3)2+(−19)2+42+02+82+72+92+12]=61s^2=\frac{1}{10}\bigl[(-2)^2+(-5)^2+(-3)^2+(-19)^2+4^2+0^2+8^2+7^2+9^2+1^2\bigr]=61
\item 由 zˉ=11\bar z=11，s2=61s^2=61，得 2s210=261102\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}=2\sqrt{\dfrac{61}{10}}. 因为 112=121>1225=(26110)211^2=121>\dfrac{122}{5}=\left(2\sqrt{\dfrac{61}{10}}\right)^2，所以 zˉ≥2s210\bar z\ge2\sqrt{\dfrac{s^2}{10}}. 故认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两城之间的长途客车均由 AA 和 BB 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲，乙两城之间的 500500 个班次，得到下面列联表：
BB21030
(1) 根据上表，分别估计这两家公司甲，乙两城之间的长途客车准点的概率； (2) 能否有 90%90\% 的把握认为甲，乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left(ad-bc\right)^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，在圆柱 OO1OO_1 中，底面半径为 11，AA1AA_1 为圆柱 OO1OO_1 的母线.
(1) 若 AA1=4AA_1=4，MM 为 AA1AA_1 的中点，求直线 MO1MO_1 与底面的夹角大小； (2) 若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

2022 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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1817分概率与统计★★☆☆☆
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确得 2020 分，否则得 00 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 8080 分，否则得 00 分. 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.80.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.60.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1) 若小明先回答 AA 类问题，记 XX 为小明的累计得分，求 XX 的分布列； (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1715分数列★★☆☆☆
记 SnS_n 是公差不为 00 的等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，若 a3=S5a_3=S_5，a2a4=S4a_2a_4=S_4.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式 ana_n； (2) 求使 Sn>anS_n>a_n 成立的 nn 的最小值.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两台机床生产同种产品，产品质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
乙机床12080200
合计270130400
(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有 99%99\% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xx 和 yy，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xx，yy，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y−x(s12+s22)10≥2\dfrac{y-x}{\sqrt{\frac{\left( s_1^2+s_2^2 \right)}{10}}}\ge 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1010 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 xˉ\bar{x} 和 yˉ\bar{y}，样本方差分别记为 s12s_1^2 和 s22s_2^2.
(1) 求 xˉ\bar{x}，yˉ\bar{y}，s12s_1^2，s22s_2^2； (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 yˉ−xˉ≥2s12+s2210\bar{y}-\bar{x}\ge2\sqrt{\dfrac{s_1^2+s_2^2}{10}}，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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1715分三角函数★★☆☆☆
在条件
① ac=3ac=\sqrt{3}， ② csin⁡A=3c\sin A=3， ③ c=3bc=\sqrt{3}b
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 cc 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 △ABC\triangle ABC，它的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡A=3sin⁡B\sin A=\sqrt{3}\sin B，C=π6C=\dfrac{\pi}{6}，______？

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分三角函数★★☆☆☆
在
① ac=3ac=\sqrt3， ② csin⁡A=3c\sin A=3， ③ c=3bc=\sqrt3 b
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 cc 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 △ABC\triangle ABC，它的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡A=3sin⁡B\sin A=\sqrt3\sin B，C=π6C=\dfrac{\pi}{6}，______？

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A，B，C，D 四个等级. 加工业务约定：对于 A 级品，B 级品，C 级品，厂家每件分别收取加工费 9090 元，5050 元，2020 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 5050 元. 该厂有甲，乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为 2525 元/件，乙分厂加工成本费为 2020 元/件. 厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1) 分别估计甲，乙两分厂加工出来的一件产品为 AA 级品的概率； (2) 分别求甲，乙两分厂加工出来的 100100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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22解析几何★★☆☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=2−t−t2x=2-t-t^2，y=2−3t+t2y=2-3t+t^2（tt 为参数且 t≠1t\ne1），CC 与坐标轴交于 AA，BB 两点.
(1) 求 ∣AB∣|AB|； (2) 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 ABAB 的极坐标方程.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
平面上点 A(2,−1)A(2,-1) 在矩阵
M=[a1−1b]M=\begin{bmatrix}a&1\\-1&b\end{bmatrix}
对应的变换作用下得到点 B(3,−4)B(3,-4).
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求矩阵 MM 的逆矩阵 M−1M^{-1}.

2020 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 2∣x+1∣+∣x∣<42\lvert x+1\rvert+\lvert x\rvert<4.

2020 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
某商场为提高服务质量，随机调查了 5050 名男顾客和 5050 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意
女顾客3020
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2) 能否有 95%95\% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★☆☆☆
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 yy 的频数分布表.
(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%40\% 的企业比例，产值负增长的企业比例； (2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精确到 0.010.01）
附：74≈8.602\sqrt{74}\approx 8.602.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一. 为了解某校学生上个月 AA，BB 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 10001000 名学生中随机抽取了 100100 人，发现样本中 AA，BB 两种支付方式都不使用的有 55 人，样本中仅使用 AA 和仅使用 BB 的学生的支付金额分布情况如下：
(1) 估计该校学生中上个月 AA，BB 两种支付方式都使用的人数； (2) 从样本仅使用 BB 的学生中随机抽取 11 人，求该学生上个月支付金额大于 2 0002\,000 元的概率； (3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用 BB 的学生中随机抽查 11 人，发现他本月的支付金额大于 2 0002\,000 元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用 BB 的学生中本月支付金额大于 2 0002\,000 元的人数有变化？说明理由.

2019 · 北京 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21不等式★★☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，解不等式 ∣x∣+∣2x−1∣>2|x|+|2x-1|>2.

2019 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21平面向量★★☆☆☆
已知矩阵
A=(3122)A=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}
.
(1) 求 A2A^2； (2) 求矩阵 AA 的特征值.

2019 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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17数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，nan+1=2(n+1)anna_{n+1}=2(n+1)a_n，设 bn=annb_n=\dfrac{a_n}{n}.
(1) 求 b1b_1，b2b_2，b3b_3； (2) 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=−7a_1=-7，S3=−15S_3=-15.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 SnS_n，并求 SnS_n 的最小值.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=−7a_1=-7，S3=−15S_3=-15.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 SnS_n，并求 SnS_n 的最小值.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a5=4a3a_5=4a_3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 Sm=63S_m=63，求 mm.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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