设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）过点 $(0,4)$，离心率为 $\frac{3}{5}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 求过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标.