函数 $y = \log_a(x + 3) - 1$（$a > 0$，$a \neq 1$）的图象恒过定点 $A$，若点 $A$ 在直线 $mx + ny + 1 = 0$ 上，其中 $mn > 0$，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为______.

\begin{answer}$8$\end{answer}

\begin{solution} 令 $x+3=1$，则 $x=-2$，且对任意允许的底数 $a$，都有 $y=\log_a1-1=-1$. 所以定点为 $A(-2,-1)$. 代入直线方程得 $-2m-n+1=0$，$2m+n=1$. 由 $mn>0$ 及 $2m+n=1>0$，可知 $m>0$，$n>0$. 令 $u=2m$，则 $u>0$、$n>0$ 且 $u+n=1$. 因此 由 $u+n=1$ 得 $un\leqslant\frac{1}{4}$，所以 当 $u=n=\frac{1}{2}$，即 $m=\frac{1}{4}$，$n=\frac{1}{2}$ 时取等号，故最小值为 $8$. \end{solution}