圆心在抛物线 $y^{2} = 2x$ 上，且与 $x$ 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 将抛物线写成 $y^2=4px$，得 $p=\frac{1}{2}$，所以准线为 $x=-\frac{1}{2}$. 设圆心为 $(u,v)$，半径为 $r$. 圆同时与 $x$ 轴和准线相切，因此 $r=|v|=\left|u+\frac{1}{2}\right|$. 又圆心在抛物线上，所以 $v^2=2u$. 消去半径得 $2u=\left(u+\frac{1}{2}\right)^2$，即 $\left(u-\frac{1}{2}\right)^2=0$，从而 $u=\frac{1}{2}$，$v=\pm1$. 题目选项列出的是上半平面圆，取圆心 $\left(\frac{1}{2},1\right)$，半径为 $1$，其方程为 $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+(y-1)^2=1$，即 $x^2+y^2-x-2y+\frac{1}{4}=0$. 故选 D. \end{solution}

已知直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 夹角的平分线为 $y = x$，如果 $l_{1}$ 的方程是 $ax + by + c = 0$（$ab > 0$），那么 $l_{2}$ 的方程是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 关于直线 $y=x$ 对称时，点的坐标互换，因此直线 $l_1\colon ax+by+c=0$ 的对称直线为 $ay+bx+c=0$，即 $bx+ay+c=0$. 这两条直线关于 $y=x$ 对称，故 $y=x$ 是它们的一个夹角平分线，选项 A 正确. \end{solution}

在 $\triangle ABC$ 中，$BC$ 边上的高所在直线的方程为 $x-2y+1=0$，$\angle A$ 的平分线所在直线的方程为 $y=0$，若点 $B$ 的坐标为 $\left(1,2\right)$，求点 $A$ 和点 $C$ 的坐标.

\begin{solution} 点 $A$ 在 $\angle A$ 的平分线 $y=0$ 上，也在从 $A$ 向 $BC$ 作出的高所在直线 $x-2y+1=0$ 上. 联立得 $y=0$，$x+1=0$，所以 $A=(-1,0)$.

直线 $x-2y+1=0$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，因此 $BC$ 的斜率为 $-2$. 由于 $B=(1,2)$，得 $BC$ 的方程为 $y-2=-2(x-1)$，即 $y=-2x+4$. 直线 $y=0$ 是 $\angle A$ 的平分线，所以射线 $AC$ 是射线 $AB$ 关于 $x$ 轴的对称射线. 直线 $AB$ 的方程为 $y=x+1$，关于 $x$ 轴对称后，直线 $AC$ 的方程为 $y=-x-1$. 联立 $y=-2x+4$ 与 $y=-x-1$，得 $x=5$，$y=-6$. 因而 $C=(5,-6)$，所求为 $A=(-1,0)$，$C=(5,-6)$. \end{solution}