函数 $y=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 的反函数（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 原函数为 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}$，其定义域为 $\mathbf{R}$. 有 $f(-x)=-f(x)$，所以它是奇函数；又 $f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}>0$，所以它在 $\mathbf{R}$ 上严格递增. 此外，$\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$，$\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$，故 $f$ 的值域为 $\mathbf{R}$，反函数 $g=f^{-1}$ 存在且定义域为 $\mathbf{R}$. 若 $y=f(x)$，则 $-y=f(-x)$，从而 $g(-y)=-x=-g(y)$，所以 $g$ 是奇函数. 由于 $f$ 严格递增，$g$ 也严格递增，因而 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，故选 C. \end{solution}