在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 四棱锥只有四个侧面，所以直角三角形的个数不超过 $4$. 下面说明四个可以同时成立：取正方形 $ABCD$ 为底面，取顶点 $S$ 在底面顶点 $A$ 的垂线上. 则在侧面 $SAB$、$SAD$ 中，$SA\perp AB$、$SA\perp AD$，它们在 $A$ 处为直角；在侧面 $SBC$ 中，$SB$ 的水平投影平行于 $AB$，而 $BC\perp AB$，故 $SB\perp BC$；同理在侧面 $SCD$ 中 $SD\perp DC$. 因而四个侧面都可以是直角三角形，最大值为 $4$. 故选 D. \end{solution}

如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$M$ 和 $N$ 分别为 $A_{1}B_{1}$ 和 $BB_{1}$ 的中点，那么直线 $AM$ 与 $CN$ 所成角的余弦值是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 建立直角坐标系，取 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$C=(1,1,0)$，$A_1=(0,0,1)$，$B_1=(1,0,1)$. 则 $M=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$，$N=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$. 取两直线方向向量 $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$ 和 $\overrightarrow{CN}=\left(0,-1,\frac{1}{2}\right)$，有 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}$，$\left|\overrightarrow{AM}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\left|\overrightarrow{CN}\right|=\frac{\sqrt{5}}{2}$. 所成角取锐角，故余弦值为 $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{5}$. 故选 D. \end{solution}

如图，已知 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 是棱长为 $a$ 的正方体，$E$，$F$ 分别为棱 $AA_{1}$ 与 $CC_{1}$ 的中点，求四棱锥 $A_{1}-EBFD_{1}$ 的体积.

\begin{solution} 取坐标 $A=(0,0,0)$，$B=(a,0,0)$，$C=(a,a,0)$，$D=(0,a,0)$，$A_1=(0,0,a)$. 则 $E=\left(0,0,\frac{a}{2}\right)$，$F=\left(a,a,\frac{a}{2}\right)$，$D_1=(0,a,a)$. 有 $\overrightarrow{EB}=a\left(1,0,-\frac12\right)$，$\overrightarrow{EF}=a(1,1,0)$，$\overrightarrow{ED_1}=a\left(0,1,\frac12\right)$. 计算得 $\overrightarrow{EB}\times\overrightarrow{EF}=a^2\left(\frac12,-\frac12,1\right)$，从而 $\left(\overrightarrow{EB}\times\overrightarrow{EF}\right)\cdot\overrightarrow{ED_1}=0$，所以 $E$，$B$，$F$，$D_1$ 共面. 又 $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FD_1}=0$，$\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{D_1E}=0$，故 $EBFD_1$ 是平行四边形，其对角线 $EF$ 将底面分成三角形 $EBF$ 和 $EFD_1$.

以 $E$ 为起点，$\overrightarrow{EA_1}=a\left(0,0,\frac12\right)$. 因而 $\left|\left(\overrightarrow{EB}\times\overrightarrow{EF}\right)\cdot\overrightarrow{EA_1}\right|=\frac{a^3}{2}$，所以三棱锥 $A_1-EBF$ 的体积为 $\frac{1}{6}\cdot\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}$. 另外， $\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ED_1}=a^2\left(\frac12,-\frac12,1\right)$，故 $\left|\left(\overrightarrow{EF}\times\overrightarrow{ED_1}\right)\cdot\overrightarrow{EA_1}\right|=\frac{a^3}{2}$，三棱锥 $A_1-EFD_1$ 的体积也为 $\frac{a^3}{12}$. 因此四棱锥体积为 $\frac{a^3}{12}+\frac{a^3}{12}=\frac{a^3}{6}$. \end{solution}