如图 $P_1$ 是一块半径为 $1$ 的半圆形纸板，在 $P_1$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_2$. 然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 $P_3$，$P_4$，$\cdots$，$P_n$，$\cdots$，记纸板 $P_n$ 的面积为 $S_n$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=$______.