某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

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\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由三视图可还原出一个直四棱柱，其底面是高为 $4$、上底为 $2$、下底为 $8$ 的等腰梯形，棱柱的高为 $10$. 梯形两腰的水平投影均为 所以腰长为 底面梯形面积为 四个侧面的面积和为 因此几何体的表面积为 选 D. \end{solution}

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = 2\sqrt{3}$，$BC = CD = 2$，$\angle ACB = \angle ACD = \frac{\pi}{3}$.

(1) 求证： $BD \perp$ 平面 PAC； (2) 若侧棱 $PC$ 上的点 $F$ 满足 $PF = 7FC$，求三棱锥 $P - BDF$ 的体积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在等腰三角形 $BCD$ 中，$BC=CD$，且 $AC$ 平分顶角 $\angle BCD$，所以 又因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，而 $BD$ 在底面内，所以 $BD\perp PA$. 直线 $AC$ 与 $PA$ 都在平面 $PAC$ 内，且相交于 $A$. 因为 $BD$ 垂直于这两条相交直线，所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$. \item 建立空间直角坐标系：取 $C$ 为原点，$x$ 轴沿 $CA$，$y$ 轴沿底面内垂直于 $CA$ 的方向，$z$ 轴沿 $AP$. 设 $AC=m$，则可取 $C=(0,0,0)$，$A=(m,0,0)$，$B=(1,\sqrt3,0)$，$D=(1,-\sqrt3,0)$，$P=(m,0,2\sqrt3)$. 其中 $B$，$D$ 的坐标来自 $BC=CD=2$ 及 $\angle ACB=\angle ACD=\frac\pi3$.

由 $PF=7FC$，得 $PF:PC=7:8$，所以 于是 故三棱锥 $P-BDF$ 的体积为 $\frac74$. \end{enumerate} \end{solution}