在边长为 1 的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为线段 $CD$ 的三等分点，$CE=\frac12DE$，$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}$，则 $\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}$；$F$ 为线段 $BE$ 上的动点，$G$ 为 $AF$ 中点，则 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{DG}$ 的最小值为______.