若点 $P$ 到直线 $x = -1$ 的距离比它到点 $(2,0)$ 的距离小 $1$，则点 $P$ 的轨迹为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设 $P=(x,y)$. 由题意，点 $P$ 到点 $(2,0)$ 的距离比到直线 $x=-1$ 的距离大 $1$，所以 $\sqrt{(x-2)^2+y^2}=|x+1|+1$.

当 $x\geqslant-1$ 时，右端为 $x+2>0$，平方得 $(x-2)^2+y^2=(x+2)^2$，即 $y^2=8x$. 该方程推出 $x\geqslant0$，与 $x\geqslant-1$ 相容；反代可得两边都等于 $x+2$，故这些点均满足原方程.

当 $x<-1$ 时，原方程化为 $\sqrt{(x-2)^2+y^2}=-x$，平方得 $y^2=4x-4<0$，没有实数解. 因而轨迹为抛物线 $y^2=8x$，故选 D. \end{solution}

过直线 $y = x$ 上的一点作圆 $(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 2$ 的两条切线 $l_1$，$l_2$，当直线 $l_1$，$l_2$ 关于 $y = x$ 对称时，它们之间的夹角为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 圆心为 $O=(5,1)$，半径为 $r=\sqrt{2}$. 关于 $y=x$ 的反射把 $O$ 变为 $O'=(1,5)$. 由于两条切线关于 $y=x$ 对称，且交点在 $y=x$ 上，反射后每条切线仍与原圆相切，因此它们是以 $O$、$O'$ 为圆心、半径均为 $\sqrt2$ 的两个等圆的两条内公切线. 两内公切线的交点是两圆心的中点 $M=(3,3)$.

有 $MO=\sqrt{(5-3)^2+(1-3)^2}=2\sqrt2$. 设从 $M$ 引出的其中一条切线与直线 $MO$ 的锐角为 $\alpha$，则在切点处半径垂直切线，所以 $\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac12$，从而 $\alpha=30^{\circ}$. 两条切线关于 $MO$ 对称，故它们的较小夹角为 $2\alpha=60^{\circ}$，故选 C. \end{solution}

某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 $k$ 棵树种植在点 $P_{k}(x_{k},y_{k})$ 处，其中 $x_{1} = 1$，$y_{1} = 1$，当 $k \geqslant 2$ 时， $T(a)$ 表示非负实数 $a$ 的整数部分，例如 $T(2.6) = 2$，$T(0.2) = 0$. 按此方案，第 $6$ 棵树种植点的坐标应为______；第 $2008$ 棵树种植点的坐标应为______.

\begin{answer} $(1,2)$，$(3,402)$ \end{answer}

\begin{solution} 记 $d_k=T\left(\frac{k-1}{5}\right)-T\left(\frac{k-2}{5}\right)$. 当 $k\geqslant2$ 时，$d_k=1$ 当且仅当 $k=5j+1$（$j$ 为正整数），其余情形 $d_k=0$. 因而通常每次使 $x$ 增加 $1$，使 $y$ 不变；在 $k=5j+1$ 时，$x$ 的增量为 $-4$，$y$ 的增量为 $1$.

从 $P_1=(1,1)$ 到 $P_6$，只有 $k=6$ 时 $d_k=1$，故 $P_6=(1,2)$. 在 $k=2$，$\ldots$，$2008$ 中，满足 $k=5j+1$ 的 $k$ 有 $\left\lfloor\frac{2007}{5}\right\rfloor=401$ 个. 若没有这些特殊增量，$x_{2008}=1+2007=2008$；每次特殊增量相对于通常的增量 $1$ 少 $5$，所以 $x_{2008}=2008-5\cdot401=3$，而 $y_{2008}=1+401=402$. 故填 $(1,2)$，$(3,402)$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = \sin^2 \omega x + \sqrt{3}\sin \omega x\sin \left(\omega x + \frac{\pi}{2}\right)$（$\omega > 0$）的最小正周期为 $\pi$.

(1) 求 $\omega$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2\pi}{3}\right]$ 上的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $u=\omega x$. 因为 $\sin\left(u+\frac\pi2\right)=\cos u$，所以 $\displaystyle f(x)=\sin^2u+\sqrt3\sin u\cos u=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\sin2u-\frac12\cos2u=\frac12+\sin\left(2u-\frac\pi6\right)$. 因此 $f(x)$ 的最小正周期为 $\frac\pi\omega$. 由题设 $\frac\pi\omega=\pi$，且 $\omega>0$，故 $\omega=1$. \item 此时 $f(x)=\frac12+\sin\left(2x-\frac\pi6\right)$. 当 $0\leqslant x\leqslant\frac{2\pi}{3}$ 时，令 $t=2x-\frac\pi6$，则 $-\frac\pi6\leqslant t\leqslant\frac{7\pi}{6}$. 该区间包含 $t=\frac\pi2$，故函数最大值为 $\frac12+1=\frac32$. 区间两端的正弦值均为 $-\frac12$，而区间内不含正弦值为 $-1$ 的点 $-\frac\pi2+2k\pi$，故最小值为 $\frac12-\frac12=0$. 取值范围为 $\left[0,\frac32\right]$. \end{enumerate} \end{solution}

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中，$AC = BC = 2$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AP = BP = AB$，$PC \perp AC$.

(1) 求证：$PC \perp AB$； (2) 求二面角 $B - AP - C$ 的大小； (3) 求点 $C$ 到平面 $APB$ 的距离.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $AC=BC$，点 $C$ 在 $AB$ 的垂直平分面上；又因为 $AP=BP$，点 $P$ 也在 $AB$ 的垂直平分面上. 因而直线 $PC$ 在这个平面内，而该平面垂直于 $AB$，所以 $PC\perp AB$. \item 取 $C=(0,0,0)$，$A=(2,0,0)$，$B=(0,2,0)$. 由 $PC\perp AC$，可设 $P=(0,y,z)$. 由 $AP=BP$ 得 $4+y^2+z^2=(y-2)^2+z^2$，从而 $y=0$. 又 $AP=AB=2\sqrt2$，所以 $4+z^2=8$，即 $z^2=4$. 按图取 $P=(0,0,2)$.

平面 $CAP$ 的方程为 $y=0$，平面 $ABP$ 的方程为 $x+y+z=2$. 两平面的法向量可分别取 $\boldsymbol{n}_1=(0,1,0)$、$\boldsymbol{n}_2=(1,1,1)$，故二面角的锐角 $\theta$ 满足 $\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac1{\sqrt3}$. 因此 $\sin\theta=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}$，二面角大小为 $\arcsin\frac{\sqrt6}{3}$. \item 由平面 $ABP:x+y+z=2$ 的点到平面距离公式，点 $C=(0,0,0)$ 到该平面的距离为 $\frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

(1) 求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3) 设随机变量 $\xi$ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 $\xi$ 的分布列.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $5$ 名志愿者分到 $4$ 个岗位且每个岗位至少一人，所以人数分配必为 $2$，$1$，$1$，$1$. 先选出二人所在的岗位，再选出这二人，最后把其余三人分别安排到其余三个岗位，等可能的分配总数为 $4\mathrm C_5^2 3!=4\times10\times6=240$. 甲、乙同时在 A 岗位时，二人必须正好是 A 岗位的两人，其余三人分别到 B，C，D，有 $3!$ 种，所以概率为 $\frac{3!}{240}=\frac1{40}$. \item 甲、乙在同一岗位时，他们必为唯一的二人岗位. 先选这个岗位，再把其余三人分别安排到另外三个岗位，共有 $4\cdot3!=24$ 种，因此 $P(\text{甲、乙同岗})=\frac{24}{240}=\frac1{10}$，从而 $P(\text{甲、乙不同岗})=1-\frac1{10}=\frac9{10}$. \item A 岗位人数只能取 $1$ 或 $2$. 当 $\xi=2$ 时，先从五人中选出到 A 岗位的二人，再把其余三人分别安排到 B，C，D，有 $\mathrm C_5^2 3!=60$ 种，故 $P(\xi=2)=\frac{60}{240}=\frac14$. 因此 $P(\xi=1)=1-\frac14=\frac34$. 分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cc} $\xi$&$1$&$2$\ \hline $P$&$\frac34$&$\frac14$ \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = \frac{2x - b}{(x - 1)^2}$，求导函数 $f'(x)$，并确定 $f(x)$ 的单调区间.

\begin{solution} $f'(x)=\frac{2(x-1)^2-2(2x-b)(x-1)}{(x-1)^4}=-\frac{2\bigl[x-(b-1)\bigr]}{(x-1)^3}$，$x\ne1$. 令 $c=b-1$. 当 $b<2$（即 $c<1$）时，$f'(x)<0$ 在 $(-\infty,c)$ 与 $(1,+\infty)$ 上成立，$f'(x)>0$ 在 $(c,1)$ 上成立，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,b-1)$、$(1,+\infty)$ 上单调递减，在 $(b-1,1)$ 上单调递增. 当 $b>2$（即 $c>1$）时，$f'(x)<0$ 在 $(-\infty,1)$ 与 $(c,+\infty)$ 上成立，$f'(x)>0$ 在 $(1,c)$ 上成立，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$、$(b-1,+\infty)$ 上单调递减，在 $(1,b-1)$ 上单调递增. 当 $b=2$ 时，$f(x)=\frac2{x-1}$，且 $f'(x)=-\frac2{(x-1)^2}<0$，所以在 $(-\infty,1)$、$(1,+\infty)$ 上均单调递减. \end{solution}