已知函数 $f(x) = \frac{2x - b}{(x - 1)^2}$，求导函数 $f'(x)$，并确定 $f(x)$ 的单调区间.

\begin{solution} $f'(x)=\frac{2(x-1)^2-2(2x-b)(x-1)}{(x-1)^4}=-\frac{2\bigl[x-(b-1)\bigr]}{(x-1)^3}$，$x\ne1$. 令 $c=b-1$. 当 $b<2$（即 $c<1$）时，$f'(x)<0$ 在 $(-\infty,c)$ 与 $(1,+\infty)$ 上成立，$f'(x)>0$ 在 $(c,1)$ 上成立，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,b-1)$、$(1,+\infty)$ 上单调递减，在 $(b-1,1)$ 上单调递增. 当 $b>2$（即 $c>1$）时，$f'(x)<0$ 在 $(-\infty,1)$ 与 $(c,+\infty)$ 上成立，$f'(x)>0$ 在 $(1,c)$ 上成立，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$、$(b-1,+\infty)$ 上单调递减，在 $(1,b-1)$ 上单调递增. 当 $b=2$ 时，$f(x)=\frac2{x-1}$，且 $f'(x)=-\frac2{(x-1)^2}<0$，所以在 $(-\infty,1)$、$(1,+\infty)$ 上均单调递减. \end{solution}